Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Ôn tập đại số cơ sở bài 10-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công. | ĐẠI SỐ CƠ SỞ Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS. Trần Huyên Ngày 8 tháng 4 năm 2005 Bài 10. Các Bài Toán Về Iđêan Và Vành Thương Indêan trong vành có vai trò tương tự như ước chuẩn ở trong nhóm giúp hình thành nên cấu trúc vành thương. Cho vành X bộ phận I 0 trong X được gọi là một idêan nếu I 2 X đồng thời thỏa mãn điều kiện Vx G X Va G I thì ax xa G I . Điều kiện sau cùng có thể được gọi là điều kiện hút hai phía tức phần tử x G X dù dính bên trái xa hay dính bên phải ax với các phần tử a G I thì bị hút vào trong I Khi I là idean của X Kí hiệu I 1 X thì tập thương X I x 1 x G X được trang bị các phép toán xác định hợp lí sau Phép cộng xi I x2 I xi X2 I. Phép nhân x1 I x2 I x1x2 I sẽ trở thành một vành gọi là vành thương của vành X theo idean I và kí hiệu là X I . hay đơn giản hơn X I. Nếu X là vành giao hoán thì X I giao hoán Nếu X là vành có đơn vị 1 thì X I có đơn vị là 1 I. Tuy nhiên nếu X không có ước của 0 thì X I nói chung không được thừa kế vô điều kiện tính chất nói trên của X độc giả hãy thử suy nghĩ xem lí do vì sao Các bài toán về inđêan và vành thương thường gặp trước hết là các bài toán kiểm tra một bộ phận nào đó của một vành cho trước là iđêan và mô tả cấu trúc của vành thương theo iđêan đó. Để kiểm tra một iđêan ta dùng tiêu chuẩn iđêan được phát biểu như sau Cho vành X tập I 0 trong X là iđêan của X khi và chỉ khi Va b E I a b E I Vx G X Va G I ax xa G I 1 1. Ví dụ 1 Cho các tập số phức sau Z ự 5 a bự 5 a b G Z I 5a bự 5 a b G Z a Chứng minh rằng Z ự 5 là vành với hai phép cộng và nhân thông thường các số phức và I 1 Z ự 5 . b Chứng minh rằng vành thương Z ự 5 I là trường. Giải a Chúng tôi dành cho độc giả dùng tiêu chuẩn vành con để kiểm tra Z ự 5 CỸ C . và do đó Z ự 5 là một vành. Để kiểm tra I 1 Z ự 5 ta có V5a1 b 5 5a2 b2ự 5 G I 5ai biự 5 5 2 b2ự 5 5 ai a2 bi b2 ự 5 G I Va bự 5 G Z ự 5 V5c dự 5 G I _ a bự 5 5c dự 5 5 ac bd 5bc ad ự 5 G I và 5c dự 5 a bự 5 a bự 5 5c dự 5 G I Vậy I là iđêan của Z ự 5 . b Ta có vành .
