Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Lagrange đã chỉ ra rằng, mọi số nguyên dương a đều luôn biểu diễn được thành tổng bình phương của bốn số nguyên. Vậy một câu hỏi tự nhiên sinh ra là: "Nếu thay số nguyên bằng đa thức, thì khi nào đa thức có thể biểu diễn thông qua một tổng của bình phương các đa thức khác? Nếu biểu diễn được thì sẽ cần tối thiểu bao nhiêu bình phương của các đa thức để tạo nên biểu diễn ấy? Điều kiện cần và đủ ở đây là gì?" Đã có rất nhiều công trình khoa học của các nhà toán học nổi tiếng nghiên cứu về vấn đề này, như Motzkin, Robinson, Choi, Lam, .; và cũng có rất nhiều ví dụ và phản ví dụ đã được đưa ra. | ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC o0o CAO HÀ DƯƠNG BIỂU DIỄN ĐA THỨC DƯƠNG DƯỚI DẠNG TỔNG BÌNH PHƯƠNG HAI ĐA THỨC THÁI NGUYÊN 10 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC o0o CAO HÀ DƯƠNG BIỂU DIỄN ĐA THỨC DƯƠNG DƯỚI DẠNG TỔNG BÌNH PHƯƠNG HAI ĐA THỨC Chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Mã số 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN 10 2018 i Mục lục Lời cảm ơn 2 Lời nói đầu 3 1 BÀI TOÁN HILBERT THỨ 17 5 1.1. Lịch sử vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Một số kết quả về biểu diễn đa thức không âm . . . . . . . 6 1.2.1. Kết quả của Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Ví dụ của Motzkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3. Ví dụ của Robinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4. Ví dụ của Choi-Lam . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.5. Ví dụ của Lax-Lax và Schm udgen . . . . . . . . . . 14 1.2.6. Chứng minh của Artin . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BÀI TOÁN HILBERT 17 29 2.1. Về không điểm của các đa thức nhiều biến không âm . . . 29 2.1.1. Không điểm của dạng psd . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2. Phương pháp ma trận Gram . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.3. Tổng quát hoá của M và S . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.4. Các ví dụ về dạng đối xứng . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Định lý Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 1 Danh mục các ký hiệu các chữ viết tắt psd đa thức nửa xác định dương pd đa thức xác định dương sos đa thức biểu diễn được dưới dạng tổng của bình phương các đa thức AM GM bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân GCD ước chung lớn nhất 2 Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Hà Huy Khoái. Thầy đã hướng dẫn và tạo điều kiện tốt nhất để cho tác giả hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và
