Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Tham khảo tài liệu 'một số bài toán được giải bằng định lý lagrange', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Trường THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh Bùi Văn Đắc MỘT số BÀI TOÁN Được GIẢI BANG ĐỊNH LÍ LAGRANGE Bài toán 1 Cho f x xác định và có đạo hàm bậc hai liên tục và không đổng nhất bằng 0 trên bất kỳ đoạn nào của R. Biết rằng đổ thị hàm số y f x cắt đường thẳng ax by c 0 tại 3 điểm phân biệt. CMR tổn tại x0 G R sao cho f x0 0 và f x đổi dấu qua x x . LG Vì đường thẳng ax by c 0 cắt đổ thị y f x tại 3 điểm phân biệt nên b 0. Ta đặt g x f x ax c thì phương trình g x 0 có 3 nghiệm phân biệt. b Do f x g x và f x có đạo hàm bậc hai liên tục và không đổng nhất bằng 0 trên bất kỳ một khoảng nào của R nên g x cũng có tính chất đó. Theo định lí Rolle thì tổn tại 2 nghiệm x1 x2 với x1 x2 của phương trình g x 0 sao cho g x 0 với x G x1 x2 và x0 G x1 x2 sao cho g x0 0. Ta thấy g x đổi dấu qua x0 vì nếu trái lại thì g x 0 hoặc g x 0 trong x1 x2 từ đó dẫn đến g x hoặc đổng biến hoặc nghịch biến trong x1 x2 điều này không thể xảy ra. Suy ra f x0 0 và f x đổi dấu qua x0 đpcm . Bài toán 2 Cho hàm số f x khả vi vô hạn trên R và thoả mãn các điều kiện a . M 0 I f n x M x G R n G N. b . f I 1 0 n G N . è n 0 CMR f x 0 x G R. LG áp dụng định lí Rolle trên các đoạn a1 a2 a2 a3 . ta dễ chứng minh được khẳng định sau Giả sử f x có đạo hàm trên R. Giả thiết rằng tổn tại dãy đơn điệu an n 1 hội tụ đến x0 và thoả mãn điều kiện f an 0 n G N. Khi đó tổn tại dãy đơn điệu a n n 1 hội tụ đến x0 và thoả mãn điều kiện f a n 0 n G N. Sử dụng kết quả này cho hàm f x với an n G N sau đó áp dụng tiếp với các hàm f x f x . ta được f 0 lim f 11 ì 0 x èn0 f 0 lim f a n 0 x f 0 lim f a n 0 x Như vậy f n 0 0 n G N. Khai triển Taylor của hàm f x tại x 0 ta được f x 0 x G R đpcm . Bài toán 3 Cho hàm số f x khả vi trên 0 1 và thoả mãn điều kiện f 0 0 f 1 1 0 f x 1 x G R. Trường THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh Bùi Văn Đắc CMR tổn tại a b G 0 1 a b sao cho f a .f b 1. OLYMPIC New - York -76 LG Xét hàm số g x f x x - 1. Ta thấy g x khả vi trên 0 1 do g 0 -1 g 1 1 nên c G 0 1 sao cho g c 0. Suy ra f c c -1 0 hay f c 1 - c. Theo .
