Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Bài giảng Phương pháp tính - Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân

Bài giảng “Phương pháp tính – Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân” trang bị cho cho người học các kiến thức: Giải gần đúng phương trình vi phân cấp 1, giải gần đúng hệ phương trình vi phân, giải gần đúng phương trình vi phân cấp cao, giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 bằng phương pháp sai phân hữu hạn, Mời các bạn cùng tham khảo. | Bài giảng Phương pháp tính - Chương 6 Giải gần đúng phương trình vi phân Chương 6 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I. GIẢI GẦN ĐÚNG PTVP CẤP 1 Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm y y x của phương trình vi phân với giá trị ban đầu y0 y f x y x a b y a y0 Các phương pháp giải gần đúng Công thức Euler Công thức Euler cải tiến Công thức Runge-Kutta 1. Công thức Euler Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy ta chia đoạn a b thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước h b-a n xo a x1 x0 h . xk x0 kh . xn b Nghiệm gần đúng của bài toán là dãy yk gồm các giá trị gần đúng của hàm tại xk Ta có yk y xk k 0 n Công thức Euler yk 1 yk h f xk yk k 0 n-1 Ví dụ Dùng công thức Euler tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy y y x2 1 0 x 1 y 0 0.5 với n 5 Tính sai số biết nghiệm chính xác là y x x 1 2 0.5ex giải ta có h 0.2 x0 0 x1 0.2 x2 0.4 x3 0.6 x4 0.8 x5 1 Công thức Euler y0 0.5 yk 1 yk 0.2 yk - xk2 1 k xk yk y xk y xk - yk 0 0 0.5 0.5 0 1 0.2 0.8 0.8292986 0.0292986 2 0.4 1.152 1.2140877 0.0620877 3 0.6 1.5504 1.6489406 0.0985406 4 0.8 1.98848 2.1272295 0.1387495 5 1 2.458176 2.6408591 0.1826831 Nhận xét công thức Euler đơn gian nhưng sai số còn lớn nên ít được sử dụng 2. Công thức Euler cải tiến yk 1 yk k1 k2 2 k 0 1 . n-1 k1 hf xk yk k2 hf xk h yk k1 Ví dụ Làm lại ví dụ trước nhưng dùng công thức Euler cải tiến giải ta có h 0.2 x0 0 x1 0.2 x2 0.4 x3 0.6 x4 0.8 x5 1 Công thức Euler cải tiến yo 0.5 yk 1 yk k1 k2 2 k1 0.2 yk - xk2 1 k2 0.2 yk k1 xk 0.2 2 1 k xk yk y xk y xk - yk 0 0 0.5 0.5 0 1 0.2 0.826 0.8292986 0.0033 2 0.4 1.20692 1.2140877 0.0072 3 0.6 1.6372424 1.6489406 0.0117 4 0.8 2.1102357 2.1272295 0.0170 5 1 2.6176876 2.6408591 0.0232 3. Công thức Runge Kutta bậc 4 Chú ý Lập công thức Runge-Kutta bằng máy tính casio không được vì công thức quá dài không đủ bộ nhớ ta phải tính trực tiếp Ví dụ Xét bài toán Cauchy y 2.7xy cos x 2.7y 1.2 x y 1.2 5.4 Dùng công thức Runge-Kutta tính gần đúng y 1.5 với bước h 0.3 giải Công thức Runge-Kutta bậc 4 xo 1.2 yo 5.4 y1 y 1.5 y1 y0 K1 2K2