Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Tham khảo tài liệu 'chương 2: suy luận toán học & các phương pháp chứng minh phần 2', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Chương 2 Suy luận toán học Các phương pháp chứng minh Ta có i i k 1 k v1- k 1 k T 2 đpcm tr tr 2 2 Vậy VnP n . Ví dụ 2 Chứng minh rằng P n n Ẻ l i 1 i T 1 1 - 1 ------- n 1 Với n 1 1 1 -1 2 P 1 là đúng - Giả sử P k là đúng khi n k. Ta có X i ỉ i 1 Cần chứng minh rằng K 1 1 - 1 k 1 1 - 1 k 2 Ta có K i K i I k 1 1 1 k 1 ị1 i 1 - T i 1 k 2 k 1 k 2 1 - k 2 - k 1 1 - 1 k 2 k 2 đpcm Vậy VnP n Ví dụ 3 Chứng minh bất đẳng thức sau n 2n với n nguyên dương. - Khi n 1 1 2 mệnh đề đúng - Giả sử mệnh đề đúng khi n k ta có k 2k . Cần chứng minh rằng k 1 2k 1 . Thật vậy vì k 2k k 1 2k 1 2k 2k 2k 1. Do đó n 2n với n nguyên dương. Chú ý 1 Trang 39 Chương 2 Suy luận toán học Các phương pháp chứng minh Khi sử dụng nguyên lý chứng minh qui nạp không được bỏ qua bước kiểm tra P x là đúng vì nếu chỉ có P n P n 1 là không đủ để kết luận rằng VnP n là đúng. Ví dụ Xét Pa . n 3 n - 2 1 P n jsi 0 1 2 3 n - -2---- r Giả sử P k là đúng khi n k. Ta có 1 k 3 k - 2 i 0 1 2 3 k ----ỉ- i 0 2 Cần chứng minh X i 0 1 2 3 k k 1 k 3 k -1 i 0 2 Ta có 1 A_ k 3 k - 2 n i - i k 1 ------2------ k 1 VT k1 - 2k 3k - 6 2k 2 2 k1 3k - 4 2 VT k 1 k 4 P k 1 đpcm Ta có P k P k 1 là đúng Tuy nhiên khi xét P 0 P 0 0 3 là mệnh đề sai Vậy VnP n là sai Trong trường hợp này ta có thể kết luận như sau Nếu P k là đúng và nếu Vn k P k P k 1 là đúng thì Vn k P n là đúng. Chú ý 2 Đôi khi chúng ta cần tính toán một biểu thức phụ thuộc vào n bắt đầu là việc đoán ra kết quả công việc này được làm bằng cách ít hay nhiều dựa vào kinh nghiệm Sau đó sử dụng nguyên lý chứng minh qui nạp để chứng minh rằng kết quả vừa tìm được là đúng Trang 40 Chương 2 Suy luận toán học Các phương pháp chứng minh Ví dụ 1 Tính tổng n số lẻ đầu tiên. S 1 3 5 7 . 2n-1 2i -1 i 1 Khi n 1 S 1 12 n 2 S 1 3 22 n 3 S 1 3 5 32 n 4 S 1 3 5 7 42 n 5 S 1 3 5 7 9 52 Vậy có thể dự đoán rằng S 2i -1 n2 i 1 Sau đó sử dụng chứng minh qui nạp để chứng minh kết quả vừa tìm được. Đặt P n R 2i -1 n21 Itr J - Khi n 1 1 1 P 1 là đúng - Giả sử rằng P k là đúng khi n k. Ta có
