Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Dưới đây là "Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 THPT năm học 2012-2013 môn Toán - Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh", mời các bậc phụ huynh, thí sinh và thầy cô giáo cùng tham khảo để để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và ôn thi. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. | www.VNMATH.com SC GIAO DỤC VA ĐÀO TAO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYẺN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI TOÁN Ngày thi 19 - 10 - 2012 Thơi gian làm bài 180 phút. Bài 1. 4 điểm Cho số nguyên dương n . Giải và biện luận theo n hệ phương trình sau Xi -3 i 1 2 . n n ít X n t Xi3 - 0 . i 1 Bài 2. 4 điểm Tìm tất cả các hàm số f R R thỏa mãn f X2 2 f y - y 2 f x 2 Vx y e R Bài 3. 4 điểm Giả sử số nguyên dương n có tất cả k ước dương là d d2 . dk. Chứng minh rằng nếu d d . dk k 2n 1thì n là số chính phương. Bài 4. 4 điểm Cho ba đường tròn C C C2 trong đó C và C2 tiếp xúc trong với C tại B C và C C2 tiếp xúc ngoài với nhau tại D. Tiếp tuyến chung trong của C và C2 cắt C tại hai điểm A và E . Đường thẳng AB cắt C tại điểm thứ hai M 11 2 đường thẳng AC cắt C2 tại điểm thứ hai N. Chứng minh rằng d E MN Bài 5. 4 điểm Cho một bảng ô vuông có 2012 X 2012 ô mỗi ô đều điền vào một dấu . Thực hiện phép biến đổi sau đổi dấu toàn bộ một hàng hoặc một cột của bảng thành - - thành . Hỏi sau một số lần thực hiện phép biến đổi bảng có thể có đúng 18 dấu - được hay không HẾT www.VNMATH.com ĐÁP ÁN VÒNG 2 Bài 1. 4 điểm Cho số nguyên dương n . Giải và biện luận theo n hệ phương trình sau xt -3 i 1 2 . n n 1 xn i 1 n x 3 0 . i 1 Giải. Đặt t x 3 i 1 2 . n Ta có ti 0 i 1 2 . n n 1 t- 3 n Ĩ 1 n t - 3 3 0 . i 1 t 0 i V. n . 4n i n1 . i 1 n n - 9 tt 2 27 t - 27n 0 i 1 i 1 ti 0 i k2 . n n 1 t 4n . 1 n n o 1 n e - 9 81 ti 0 i 1 4 i 1 L i 1 9 z. _ t1 0 V t I i 1 2 . n n t 4n . i 1 t 0 i v . n n 1 t 4n i 1 JL Q ti ti - 9 2 0 . i 1 2 Gọi k là số các t có giá trị bằng 0 và l là số các t có giá trị bằng . Khi đó ta có 91 4 1 2 k 1 n Ị _8n 9 k n 9 Khi n không chia hết cho 9 hệ vô nghiệm. Khi n 9m m e ta có k m l 8m hệ có tập nghiệm 9 s t t2 . c trong đó m giá trị bằng 0 và 8m giá trị bằng Ỷ 3 Hay s Xj x2 . x trong đó m giá trị bằng - 3 và 8m giá trị bằng y Bài 2. 4 điểm Tìm tất cả các hàm số f R R thỏa mãn f x2 2 f y y 2 f x 2 Vx y e R Giải. Xét hàm số g x 2 f x .