Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Cho hàm f : R2 −→ R, (x, y) −→ sin x. Dùng đ nh nghĩa ch ng minh Df (a, b) = α, v i α xác đ nh b i α(x, y) = (cos a)x. Bài t p 1.2. Cho hàm f : Rn −→ R th a mãn đi u ki n |f (x)| ≤ x 2 . Ch ng minh f kh vi t i x = 0 và Df (0) = 0. Bài t p 1.3. Cho hàm f : R2 −→ R xác đ nh b i: x|y| , + y 2 )2 n u (x, y) = (0, 0) n u (x, y) = (0, 0) | Phép tính vi PHÂN TRÊN Rn 1 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài tập 1.1. Cho hàm f R2 R X y I sin x. Dùng định nghĩa chứng minh Df a b a với a xác định bởi a X y cos a x. Bài tập 1.2. Cho hàm f Rn R thỏa mân điều kiện If x llxk2 . Chứng minh f khả vi tại X 0 và Df 0 0. Bài tập 1.3. Cho hàm f R2 R xác định bởi Inếu X 11 0 0 x2 y2 2 x y 0 0 0 nếu x y 0 0 a Tính D1f 0 0 và D2f 0 0 . b Chứng minh f không khả vi tại 0 0 . Bài tập 1.4. Tìm đạo hàm của các ánh xạ sau a f x y z xy x 0. b f x y z xy x2 z x 0. c f x y sin x sin y . d f x y sin xy sin x siny xy x 0. Bài tập 1.5. Sử dụng ví dụ x2 sin x 0 2 0 x 0 Chứng tỏ rằng điều kiện liên tục trong định lí hàm ngược không thể bỏ được. Bài tập 1.6. Cho hàm g liên tục trên đường tròn đơn vị S1 thỏa mân điều kiện g 0 1 g 1 0 0 I g -x -g x 2 Bầi tập chương 1 Xét hàm f R2 R xác định bởi . I llxllg ĩĩ x 0 f x Mkll 0 x 0 với mọi x 2 R2. a Chứng minh với x 2 R2 cố định cho trước hàm số h R R h t f t x khả vi trên R. b Chứng minh f không khả vi tại 0 0 trừ khi hàm g 0. Bài tập 1.7. Cho hàm f R2 R khả vi liên tục. Chứng minh rằng f không thể là đơn ánh. Bài tập 1.8. Cho f Rn Rm g Rm R khả vi lớp C1. Chứng minh rằng g o f g o f. Bài tập 1.9. Cho L Rn Rm là một ánh xạ tuyến tính chứng minh rằng L liên tục khả vi tại mọi điểm x 2 Rn. Bài tập 1.10. Chứng minh rằng phép tịnh tuyến và phép vị tự trên Rn là các ánh xạ liên tục. Bài tập 1.11. Cho U là một tập mở trong Rn và f U Rm m n là một ánh xạ thuộc lớp C 1. Giả sử rằng f là một đơn ánh và f-1 A U với A f U cũng thuộc lớp C 1. Chứng minh rằng m không thể nhỏ hơn n. Đây là một định lý yếu của Brouwer Không tồn tại 1 đồng từ một tập mở U c Rn vào Rm với m n . Bài tập 1.12. Cho f Rn Rn là một ánh xạ khả vi chính qui trên Rn chứng minh rằng f là một ánh xạ mở. Bài tập 1.13. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một ánh xạ trơn F là một vi phôi từ W vào F W là F là một đơn ánh và DF không có điểm kì dị trên W. Bài tập 1.14. Chứng minh rằng không tồn tại 1 vi phôi từ một tập mở của Rn vào một tập mở của Rm
