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Cours d’arithm´tique

Ce document est la premi`re partie d’un cours d’arithm´tique ´crit pour les ´l`ves pr´e e e ee e parant les olympiades internationales de math´matiques. Le plan complet de ce cours est : e 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Premiers concepts Division euclidienne et cons´quences e Congruences ´ Equations diophantiennes Structure de Z/nZ Sommes de carr´s e Polynˆmes ` coefficients entiers o a Fractions continues Cette premi`re partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres e forment quant ` eux la deuxi`me partie de ce cours. a e Contrairement ` la seconde partie, cette premi`re partie se. | Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmetique ecrit pour les eleves préparant les olympiades internationales de mathematiques. Le plan complet de ce cours est 1. Premiers concepts 2. Division euclidienne et consequences 3. Congruences 4. Equations diophantiennes 5. Structure de Z nZ 6. Sommes de carres 7. Polynômes à coefficients entiers 8. Fractions continues Cette premiere partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres forment quant a eux la deuxieme partie de ce cours. Contrairement a la seconde partie cette premiere partie se veut le plus elementaire possible. Les notions abstraites souvent plus difficiles a assimiler mais qui clarifient les idees lorsqu elles sont comprises ne sont evoquees que dans la seconde partie. Nous conseillons au lecteur de bien maîtriser ce premier tome avant de passer a la lecture du second. Les notions et les theoremes introduits ici sont generalement tout a fait suffisants pour traiter les exercices proposees aux olympiades internationales de mathematiques. Vous trouverez a la fin de chaque chapitre une serie d exercices de difficulté variable mais indiquee par des etoiles1. Toutes les solutions sont rassemblees a la fin du document. Nous vous souhaitons bon apprentissage et bonne lecture. 1Plus nous avons juge l exercice difficile plus le nombre d étoiles est important. 1 Liste des abbrevations AMM American Mathematical Monthly APMO The Asian Pacific Mathematics Olympiad CG Concours general OIM Olympiades Internationales de Mathématiques SL Short List TDV Tournoi Des Villes Liste des notations N N Z Q R ensemble vide ensemble des entiers naturels positifs ou nuis ensemble des entiers naturels strictement positifs ensemble des entiers relatifs ensemble des nombres rationnels ensemble des nombres reels P n a b x M PGCD a A b PPCM a V b symbole de sommation2 symbole de produit3 a .