Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên chuyên môn toán - TÍNH ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CỰC HAY. | Chương III TÍNH ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM Trong nhiều bài toán thực tế ta cần phải tính đạo hàm của hàm số y f x khi biết giá trị của hàm này tại các mốc xi . Ta biết yi f xi 3.1 Ta có thể dùng công thức nội suy Lagrange để tính đạo hàm f x - Ln x 3.2 với ước lượng sai số R. x d í O a- x ì 3 3 dx n 1 J Vì điểm c phụ thuộc x nên ước lượng 3.3 chỉ đánh giá được khi x là các mốc nội suy x xi Thông thường người ta xét đa thức nội suy với mốc cách đều với h xi 1 - xi . 1.1 Tính đạo hàm cấp 1 a Đạo hàm tại các điểm biên Khi x là điểm biên x0 hoặc xn ta dùng công thức nội suy bậc nhất với hai mốc nội suy để tính gần đúng đạo hàm y xo yi-yo h 3.4 y xn yn-yn-i h Vì yn yn-1 y xn h 0 h2 nên sai số của ước lượng 3.4 là O h2 . b Đạo hàm tại các điểm trong Khi x xi là các điểm trong i 1 2 . n-1 ta dùng công thức nội suy bậc 2 có xi là điểm giữa y x - y 1 tAy-1 z 1t 1 A 2 y 1 3 5 với x xi-1 h.t Đạo hàm 3.5 theo x ta được í í 2.t 1.2 ì 1 y x y jx-1 AL-1 z a y 1 .7 2 ì h thay X xi hay t 1 vào công thức trên ta được y x -1 Ay.-1 1A2y.-1 1 1 1 Ạy.-1 1 Ạy -Ạy.-1 1 .-1 V 2 h V 2 h y x h 2h Ạy Ạy-1 hay y x y 1- y-1 2h 3.6 với Vi 1 2 . n-1. Để tính ước lượng sai số ta có các công thức y i 1 y . hy h y i O h y-1 y 1 - hy y y O h3 Do vậy -r y O h hay công thức 3.6 có sai số là O h2 . 1.2 Đạo hàm cấp 2. Để tính đạo hàm cấp 2 ta dùng công thức nội suy cấp 2 để tính y xi . Đạo hàm hai lần liên tiếp biểu thức 3.5 ta có y x Ả Ạ2y.-1 Tĩ y 1- 2y y-1 3.7 h h ta có các công thức sau h2 h3 . yt 1 yt hyt y i 7 y. O h . h h 3 . 3 y .-1 y .- ỉtỳi y yi 6 yt O h từ đó ta có y y r 1- 2 y r y r-1 y. O y2 h Vậy sai số có bậc O h2 . Chú ý Chúng ta đã có công thức tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại các mốc nội suy. Để tính đạo hàm tại các điểm không là mốc ta lại áp dụng phương pháp nội suy Lagrange. Sai số khi tính đạo hàm ngoài sai số của công thức còn phải tính đến sai số làm tròn và các bước nội suy h phải đủ nhỏ. Ví dụ Hàm y f x được cho tại các mốc sẽ có đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại các .
