Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Tài liệu tham khảo về đề thi học sinh giỏi môn toán quốc gia năm học 2002-2003 môn Toán Bảng A. | ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003 MÔN: TOÁN (Bảng A) Ngày thi : 12/3/2003 Bài 1 : Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn điều kiện : f(cotgx) = sin2x + cos2x với mọi x thuộc khoảng (0; ). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : g(x) = f(x).f(1-x) trên đoạn [-1;1] Bài 2 : Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn cố định (O ) và (O ) tiếp xúc với nhau tại điểm M , và bán kính của đường tròn (O ) lớn hơn bán kính của đường tròn (O ). Xét điểm A nằm trên đường tròn (O ) sao cho 3 điểm O ,O ,A không thẳng hàng . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O ) (B và C là các tiếp điểm) . Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn (O ),tương ứng, tại E và F . Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O ) . Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định , khi A di động trên đường tròn (O ) sao cho ba điểm O ,O ,A không thẳng hàng . ( (O) kí hiệu đường tròn tâm O) Bài 3 : Với mỗi số nguyên n>1 , kí hiệu s là số các hoàn vị (a ,a , .,a ) của n số nguyên dương đầu tiên , mà mỗi hoán vị (a ,a , ., a ) đều có tính chất 1 |a - k| 2 với mọi k = 1,2,3, ,n. Chứng minh rằng : 1,75.s 6 ------------------------------------------------ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003 MÔN: TOÁN (Bảng A) Ngày thi : 13/3/2003 Bài 4 : Hãy tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho hệ phương trình : (x+1) + y = (x+2) + y = = (x+k) + y = = (x+n) + y có nghiệm nguyên (x,y ,y , .,y ) Bài 5 : Cho hai đa thức : P(x) = 4x - 2x - 15x + 9 và Q(x) = 12x + 6x - 7x + 1 1/ Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có ba nghiệm thực phân biệt 2/ Kí hiệu α và β tương ứng là nghiệm lớn nhất của P(x) và Q(x) . Chứng minh rằng: α + 3β = 4 Bài 6 : Cho tập hợp F gồm tất cả các hàm số f : R R thoả mãn điều kiện: f(3x) f(f(2x)) + x với mọi số thực dương x. Hãy tìm số thực α lớn nhất sao cho với mọi hàm số f thuộc tập hợp F ta đều có : f(x) α với mọi số thực dương x. ( R kí hiệu tập hợp các số thực dương). --------------------------------------
