TAILIEUCHUNG - Một số bài toán số học liên quan đến lũy thừa - Phạm Văn Quốc

Một số khai triển liên quan đến lũy thừa, định lý Fermat, hàm Euler, cấp order của một số nguyên, bài tập áp dụng liên quan đến lũy thừa là những nội dung chính trong tài liệu "Một số bài toán số học liên quan đến lũy thừa". nội dung tài liệu để có thêm tài liệu học tập và ôn thi. | MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LŨY THỪA Phạm Văn Quốc Trường THPT chuyên Khoa Học Tự Nhiên Trong các kỳ thi học sinh giỏi chúng ta hay gặp các bài toán số học liên quan đến lũy thừa như chứng minh sự chia hết chứng minh sự tồn tại hoặc tìm các số nguyên thỏa mãn điều kiện . Trong những năm gần đây dạng toán này cũng xuất hiện nhiều trong các đề thi quốc gia đề thi chọn đội tuyển thi quốc tế CĐT của các nước các đề dự tuyển và các đề thi Toán quốc tế IMO . Đây là những bài toán hay và tất nhiên không dễ nếu không nắm được một số kỹ thuật cũng như nhận dạng được kiểu bài toán. Các lời giải thường sử dụng công cụ không khó nhưng chứa đựng nhiều sự tinh tế và sự linh hoạt trong vận dụng kiến thức. Bài viết dưới đây đề cập đến một số kiến thức cơ bản và kỹ năng liên quan đến các bài toán dạng này. I. Kiến thức cơ bản Trong phần này là một số kiến thức cơ bản nhưng chúng hay được dùng trong các dạng toán mà ta đang xét công thức lũy thừa số mũ đúng định lý Fermat Định lý Euler cấp của số nguyên và một số tính chất liên quan hay dùng . 1. Một số khai triển liên quan đến lũy thừa Định lý 1. Cho n là số nguyên dương khi đó với x y bất kỳ ta có o xn yn x y xn-1 xn-2y xn-3y2 xyn-2 yn 1 o xn yn x y xn-1 xn-2y xn-3y2 xyn-2 yn-1 nếu n lẻ o x y n xn 01xn-1y cnxn-2y2 C n-1xyn-1 yn. Ta hãy bắt đầu bằng ví dụ sau. Ví dụ 1. Romania 2002 Cho k n là các số nguyên dương với n 2. Chứng minh rằng phương trình xn yn 2k không có nghiệm nguyên dương. Lời giải. Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương x y . Nếu gcd x y d 1 d 2k nên d là lũy thừa của 2. Bằng cách chia hai vế cho dn ta có thể giả sử gcd x y 1 và suy ra x y lẻ. 1 Nếu n chẵn n 2m ta có xn yn xm ym xm ym nên xm ym 2a xm ym 2k-a với a là số nguyên dương. Khi đó xm 2 -1 1 2k-2 mà x lẻ nên a 1. Hơn nữa vì m 2 nên xm ym x y xm-1 xm-2y . ym 1 2 mâu thuẫn. Do đó n là số lẻ. Ta có xn yn x y xn-1 xn-2y . yn-1 . Nhưng do x y lẻ nên xn-1 xn-2y yn-1 n 1 mod 2 . Suy ra xn-1 xn-2y ---- yn-1 1 điều này là .

• Trung học phổ thông
• Một số bài toán số học
• Bài toán liên quan đến lũy thừa
• Bài toán lũy thừa
• Khai triển liên quan đến lũy thừa
• Định lý Fermat
• Cấp một số nguyên
• Giáo trình dạy học lớp 3
• giáo án dạy học
• dạy học mẫu giáo
• dạy học mầm non
• tài liệu giảng dạy mầm non
• giáo án dạy học cho trẻ
• Bài giảng Số học 6 chương 3 bài 15
• Bài giảng điện tử Toán 6
• Bài giảng điện tử lớp 6
• Bài giảng lớp 6 môn Số học
• Tìm một số biết giá trị phân số
• Quy tắc tìm một số biết phân số
• Ví dụ tìm một số biết phân số
• Giáo án Số học 6 chương 3 bài 15
• Giáo án điện tử Toán 6
• Giáo án lớp 6 môn Số học
• Giáo án điện tử lớp 6
• Bài tập nâng cao Toán tiểu học
• Chuyên đề Toán tiểu học
• Học sinh giỏi Toán
• Tài liệu tiểu học
• Toán có chữ số tận
• Toán về số chẳn
• Toán về số lẻ
• Bài giảng Số học 6 chương 1 bài 15
• Bài giảng Số học lớp 6
• Phân tích một số ra thừa số
• Cách phân tích số ra thừa số
• Phân tích số tự nhiên lớn hơn 1
• Bài giảng Toán học
• Bài toán về dãy số và nhóm
• Phương pháp giải toán không điển hình
• Quy luật dãy số
• Tìm số số hạng của dãy số
• Bài giảng Số học 6 chương 3 bài 14
• Bài giảng môn Số học lớp 6
• Tìm giá trị phân số của một số
• Quy tắc tìm giá trị phân số
• Ví dụ tìm giá trị phân số
• Luận văn Thạc sĩ Toán học
• Luận văn Toán học
• Tính chất dãy số
• Tính chính phương
• Bài toán về số học
• Bài toán về dãy số
• Một số bài toán về dãy số
• Cơ sở lý thuyết bài toán dãy số
• Sổ tay toán học
• Bài tập toán
• Đề thi toán Quốc tế
• Đề thi Olympic 30 4
• Giáo án Số học 6 chương 1 bài 15
• Giáo án Số học lớp 6
• Bài giảng Số học 6 chương 2 bài 13
• Bội của một số nguyên
• Ước của một số nguyên
• Tính chất bội ước của số nguyên
• Một số bài toán hình học phẳng
• Bài toán hình học phẳng
• Hình học phẳng
• Bài tập hình học phẳng
• Bài toán trong tam giác
• Bài toán đại số
• Giáo án Số học 6 chương 3 bài 14
• Giáo án môn Số học lớp 6
• Tìm giá trị phân số
• Bài tập dãy số
• Bài tập số học
• Bài tập ôn học sinh giỏi môn Toán
• Đề thi học sinh giỏi
• Đề thi dãy số
• Đề thi số học
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán
• Hội thảo khoa học Toán học
• Cấp của một số nguyên
• Bài toán nâng lũy thừa
• Căn nguyên thủy mod
• Hệ thặng dư thu gọn
• Số nguyên dương
• Giáo án Số học 6 chương 2 bài 13
• Bài toán số học
• Cách giải toán số học
• Định lý hàm số
• Olympic toán học quốc tế
• Tổng hợp bài toán số học hay
• Bài giảng Toán 7
• Bài giảng Toán 7 chương 2 bài 1
• Bài giảng điện tử lớp 7
• Số vô tỉ căn bậc hai số học
• Nhận biết số hữu tỉ
• Nhận biết một phân số
• Sáng kiến kinh nghiệm
• Sáng kiến kinh nghiệm THCS
• Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
• Các dạng bài toán dãy số
• Giải bài tập dãy phân số
• Tính chất hình học phẳng
• Chứng minh hình học
• Ôn tập hình học phẳng
• Bài tập Hình học
• Phương trình vi phân
• Toán giải tích
• Bài tập Giải tích Toán học
• vi phân hàm số một biến số
• Tích phân hàm số một biến số
• Chuỗi số và chuỗi hàm số
• Bài tập Khảo sát hàm số
• Phương pháp giải bài tập khảo sát hàm số
• Cực đại cực tiểu hàm số bậc 3
• Ôn thi Toán khảo sát hàm số
• Chuyên đề Toán khảo sát hàm số
• Luyện thi Đại học môn Toán
• Luận án Tiến sĩ
• Luận án Tiến sĩ Toán học
• Lược đồ chữ ký số
• Bài toán phân tích số
• Hàm tạo chữ ký
• Thuật toán chữ ký số
• Số đa giác
• Bài toán số đa giác
• Số đa diện
• Phương pháp toán sơ cấp
• Nghiên cứu toán học