TAILIEUCHUNG - CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 3
Ta bắt đầu từ việc xây dựng các toán tử cho các đại lượng cơ bản nhất, đặc trưng cho một hạt: đó là các toán tử toạ độ, xung lượng và năng lượng. Có nhiều cách khác nhau để xác định toán tử xung lượng, và kết quả thực chất là dẫn đến một toán tử duy nhất. | Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 3: Các toán tử toạ độ, xung lượng và năng lượng Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta bắt đầu từ việc xây dựng các toán tử cho các đại lượng cơ bản nhất, đặc trưng cho một hạt: đó là các toán tử toạ độ, xung lượng và năng lượng. Có nhiều cách khác nhau để xác định toán tử xung lượng, và kết quả thực chất là dẫn đến một toán tử duy nhất. Xin điểm qua tinh thần của một vài cách. 1. Toán tử xung lượng Cách thứ nhất: Có thể xác định toán tử xung lượng xuất phát từ các hệ thức tương tự như các hệ thức cho các “móc Poisson” trong Cơ học giải tích cổ điển. Cách thứ hai: Có thể xuất phát từ yêu cầu: tính bảo toàn của xung lượng đối với hệ kín Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Cách thứ ba: xuất phát từ ý tưởng liên quan đến công thức (). Cụ thể, ta sẽ coi toán tử xung lượng là toán tử vector gồm 3 thành phần , , sao cho nhận mọi vector làm trị riêng, và các hàm riêng tương ứng là: trong đó C không phụ thuộc x, y, z. Dễ thấy toán tử vector thoả mãn yêu cầu trên, chính là toán tử trong đó là toán tử vector với 3 thành phần Thật vậy, ta có: và tương tự với 2 thành phần còn lại. Từ đó suy ra: , toán tử vector thoả mãn yêu cầu trên, chính là toán tử () là toán tử xung lượng cần tìm Chú ý: Nếu còn phụ thuộc cả vào thời gian t thì sự phụ thuộc đó sẽ được thể hiện qua hệ số C (C không phụ thuộc x, y, z). Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Hàm Dirac Muốn xác định các toán tử toạ độ, ta cần đến khái niệm về một hàm số đặc biệt gọi là hàm Dirac (do Paul Dirac nêu ra). Với mỗi số dương p, xét hàm số trên trục số sao cho: (i) = 0 khi hoặc (ii) tang trên khoang (-p; 0) và giam trên (0; p); . (iii) Ngoài ra yêu cầu hay tồn tại với mọi x. Đồ thị của hàm số này có dạng như hình 1 Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Diện tích hình được gạch chéo bằng 1. Khi cho ,
đang nạp các trang xem trước
