TAILIEUCHUNG - Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 9 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Bài 9 tiếp tục trang bị cho người học những kiến thức về phương trình vi phân cấp hai. Trong bài này các bán sẽ tìm hiểu những nội dung sau đây: Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, phương pháp biến thiên hằng số Lagrange. Mời các bạn tham khảo. | PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 9 3. Phương trình vi phân cấp hai TT Đặt vấn đề. Mô hình toán học của hệ cơ học và mạch điện dẫn đến phương trình vi phân cấp hai mdx cdx kx 0 LI RI -11 E t dt2 dt C k là hệ số co dãn của lò xo c là hệ số giảm xóc m là khối lượng vật thể 3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai a Định nghĩa. y p x y q x y f x 1 b Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất y p x y q x y 0 2 Định lí 1. yi y2 là các nghiệm của 2 ciyi c2y2 cũng là nghiệm của 2 V ci c2 e M Định nghĩa. Các hàm yi x y2 x là độc lập tuyến tính trên a b y2 x hằng yi x số trên a b . Trong trường hợp ngược lại ta nói các hàm này phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ 1. a ex e2x b x2 2x 1 x 1 c tan x 2 tan x Định nghĩa. Cho các hàm yi x y2 x khi đó định thức Wronsky của các hàm này là W yi y2 yi yi y2 y2 Định lí 2. Các hàm yi y2 phụ thuộc tuyến tính trên a b W yi y2 0 trên đoạn đó Chú ý. Nếu W yi y2 0 tại x0 nào đó thuộc a b độc lập tuyến tính Định lí 3. Cho yi y2 là các nghiệm của 2 W yi y2 0 tại x0 e a b các hàm p x q x liên tục trên a b W yi y2 0 V x G a b Định lí 4. Các nghiệm yi y2 của 2 độc lập tuyến tính trên a b W yi y2 0 V x e a b Định lí 5. Cho yi y2 là các nghiệm độc lập tuyến tính nghiệm tổng quát của 2 là y Ciyi C2y2 Ví dụ 2. y y 0 Định lí 6. Biết nghiệm riêng yi 0 của 2 tìm được nghiệm riêng y2 của 2 độc lập tuyến tính với yi và có dạng y2 x yi x u x Hệ quả. Với giả thiết của định lí 6 nghiệm y2 tìm được theo công thức sau y2 yi í-4 edpx dxdx Liouville . Jy2 thaonx-fami @ PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Ví dụ 3. a y - 0 Dễ thấy y1 1 là nghiệm y2 J e í -1 dxdx ex y C1 C2ex b x2y - xy - y 0 1Z _ v 1Z _ f 1 -í1 dx 1 1 y1 x là nghiệm y2 x e x dx x dx x2 x3 -2x y C1x x c 2x 1 y 4xy - 4y 0 y C1x C2e 2x d xy - 2x 1 y x 1 y 0 y C1ex C2x2ex e y - 2 1 tan2 x y 0 y C1 tan x C2 1 xtan x c Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất y p x y q x y f x 1 Định lí 1. Nghiệm tổng quát của 1 có dạng y y Y ở đó y

• Toán học
• Phương trình vi phân
• Lí thuyết chuỗi
• Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
• Phương trình vi phân tuyến
• Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
• Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange
• Bài tập Phương trình vi phân
• Phương pháp giải Phương trình vi phân
• Phương trình vi phân toàn phần
• Phương trình Bernoulli
• Phương trình vi phân tuyến tính
• Phương trình vi phân đẳng cấp
• Phương trình phân li
• câu hỏi phương trình vi phân
• đề thi phương trình vi phân
• tham khảo phương trình vi phân
• tài liệu phương trình vi phân
• Bài giảng Phương trình vi phân
• Phương trình vi phân cấp một
• Phương trình vi phân cấp cao
• Hệ phương trình vi phân
• Phương trình vi phân tuyến tính cấp
• Bài tập vi phân
• Ôn tập Phương trình vi phân
• Đề cương Phương trình vi phân
• Giải phương trình vi phân
• Phương trình đạo hàm riêng
• Nguyên lý cộng nghiệm
• tìm hiểu phương trình vi phân
• phân tích phương trình vi phân
• Hệ phương trình vi phân tuyến tính
• Bài tập phương trình vi phân tuyến tính
• Ôn tập phương trình vi phân tuyến tính
• Tiểu luận phương pháp Toán Lý
• phương trình vi phân cấp 1
• phương trình vi phân đẳng cấp 1
• phương trình vi phân tuyến tính 1
• ứng dụng của phương trình vi phân
• phương trình vi phân cấp 2
• tài liệu toán
• phương trình vi phân thuần nhất
• phương trình vi phân cấp
• giáo án phương trình vi phân
• Lý thuyết phương trình vi phân
• Sự tồn tại
• Duy nhất nghiệm
• Giải gần đúng phương trình vi phân
• Bài giảng Giải phương trình vi phân
• Giải phương trình vi phân cấp 1
• Giải hệ phương trình vi phân
• Giải phương trình vi phân cấp cao
• Công thức Euler