TAILIEUCHUNG - Bài giảng Đại số cơ bản: Bài 15 - PGS. TS Mỵ Vinh Quang

Trong bài này sẽ trình bày các kiến thức về ánh xạ tuyến tính với những nội dung cơ bản như: Định nghĩa và ví dụ về ánh xạ tuyến tính, các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính, định lý cơ bản về sự xác định của ánh xạ tuyến tính, ma trận của ánh xạ tuyến tính,. . | ĐẠI SỐ CƠ BẢN ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC Bài 15. Ánh xạ tuyến tính PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 28 tháng 2 năm 2006 1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa Cho V và U là hai không gian véctơ ánh xạ f V U là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn 2 tính chất sau i Với mọi a p G V f a h f a f P ii Với mọi a E R a G V f aa af a Một ánh xạ tuyến tính f V V gọi là một phép biến đổi tuyến tính của V. Như vậy để kiểm tra ánh xạ f V U có là ánh xạ tuyến tính không ta cần phải kiểm tra f có các tính chất i và ii không. Bạn đọc có thể dễ dàng tự kiểm tra các ví dụ sau Các ví dụ Ví dụ 1. Ảnh xạ không là ánh xạ tuyến tính. Ví dụ 2. Ảnh xạ đồng nhất là ánh xạ tuyến tính. Ví dụ 3. Ảnh xạ đạo hàm là ánh xạ tuyến tính. a I 0 a 0 id V V a I id a a 0 R x R x f x 0 f f x 0 V U 1 Ví dụ 4. Phép chiếu p R3 R2 X1 X2 X3 I--- p Xi X2 X3 X1 X2 là ánh xạ tuyến tính. Dạng tổng quát của một ánh xạ tuyến tính f Rm Rn được cho trong bài tập 1. 2 Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính Cho U V là các không gian véctơ và f V U là ánh xạ tuyến tính. Khi đó a. f 0V 0U f a f a b. Với mọi a1 a2 . an E R ơ1 a2 . an E V ta có f 1ơ1 a2ơ2 . an On a1f ơ1 of 2 . Onf an c. Ánh xạ tuyến tính biến hệ PTTT thành hệ PTTT. Tức là nếu a1 a2 . an là hệ PTTT trong V thì f a1 f a2 . f an là hệ PTTT trong U. Thật vậy nếu ơ1 a2 . an là hệ PTTT thì tồn tại a1 a2 . an E R không đồng thời bằng không sao cho a1a1 a2a2 . anan 0. Do đó f a1 a1 a2a2 . anan f 0 suy ra a1f a1 a2f a2 . anf an 0 mà a1 a2 . an không đồng thời bằng không nên f ơ1 f a2 . f ữn PTTT. d. Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng của một hệ véctơ tức là với mọi a1 . an E V rank ơ1 . ơn rank f ơ1 . f ơn . Thật vậy giả sử f ơix . f aik là một hệ con ĐLTT tối đại của hệ f ơ1 . f an do đó rank f ơ1 . f an k theo tính chất c. hệ véctơ ai1 . aik ĐLTT do đó hệ con ĐLTT tối đại của hệ ơ1 . an có không ít hơn k véctơ tức là rank a1 . an k rank f ơ1 . f ơn . 3 Định lý cơ bản về sự xác định của ánh xạ tuyến tính Định lý . Cho V là không gian véctơ n chiều dimV n ơ1 . an ơ

TỪ KHÓA LIÊN QUAN
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.