TAILIEUCHUNG - Lời giải đề nghị VMO

Tài liệu tham khảo Lời giải đề nghị VMO | Lời giải đề nghị VMO 2010 Trần Nam Dũng Trường Đại học Khoa học tự nhiên - thành phố Hồ Chí Minh Bài 1. Giải hệ phương trình Ị x4 - y4 240 I x3 2y3 3 x2 4y2 4 x 8y Lời giải. Cách 1. Nhân phương trình thứ hai với 8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được x4 - 8x3 24x2 - 32x 16 y4 - 16y3 96y2 - 256y 256 hay x - 2 4 y - 4 4. Từ đây ta suy ra ngay x y 2 hoặc x 6 y. Trường hợp x y 2. Thay vào phương trình đầu ta được 8y3 24y2 - 32y 16 240 y3 - 3y2 4y 28 0 y 2 y2 - 5y 14 0. Từ đây ta tìm được y 2 và x 4. Trường hợp x 6 y. Thay vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có 24y3 216y2 - 864y 1296 240 y3 9y2 36y 44 0 y - 2 y2 - 7y 22 0 suy ra y 2 và x 4. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là x y 4 2 và x y 4 2 . Cách 2. Đặt y 2t thay vào phương trình và viết lại hệ dưới dạng Ị x4 16 16 t4 16 1 x3 - 3x2 4x 16 t3 - 3t2 4t 2 Chủ ý đây chỉ là đáp án tham khảo không phải là đáp án chính thức. 1 2 Trần Nam Dũng Nhân chéo hai phương trình này ta được x4 16 t3 3t2 4t t4 16 x3 3x2 4x . 3 Dễ thấy nếu x t là nghiệm của hệ thì xt 0 nên ta chia hai vế của phương trình trên cho x2t2 thì được fx2 12 ì t - 3 4 4 t2 126 Wt - 3 41. x2 t t2 t Từ đây nếu đặt u x và v t 4 thì ta có xt u2 8 v 3 v2 8 u 3 u2v v2u 3 u2 V2 8 u v 0 u v uv 3 u v 8 0. 4 Từ 1 ta suy ra rằng x và t cùng dấu. Do đó áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta dễ dàng suy ra u V hoặc cùng 4 hoặc cùng 4. Suy ra u 3 và v 3 luôn lớn hơn hay bằng 1 hoặc luôn nhỏ hơn hay bằng 7. Suy ra uv 3 u 3 8 u 3 v 3 1 0. Dấu bằng chỉ có thể xảy ra khi u V 4. Từ lý luận trên và từ 2 ta suy ra u V từ đó suy ra x t hoặc x 4. t Trường hợp x t. Thay vào phương trình 1 ta được t4 16 16 t4 16 vô nghiệm. Trường hợp x 4. Thay vào phương trình 1 ta được 256 16 16 t4 16 16 t4 16 t4 1 suy ra t 1. Từ đó ta được các nghiệm x y 4 2 và x y 4 2 . Nhận xét. Lời giải 1 khá ngắn gọn nhưng đó là một ý tưởng không dễ nghĩ ra. Nếu như đặt x 2u y 2v và đưa về hệ phương trình J u4 - V4 15 2 u3 - 2v3 3 u2 - 4v2 - 2 u - 8v thì có lẽ sẽ dễ nhìn thấy các hệ số nhị thức hơn. Dù sao thì

• Toán học
• đố vui toán học
• chuyên đề toán học
• đề nghị VMO
• phương pháp giải toán
• toán nâng cao
• Trò chơi câu hỏi đố vui để học
• Câu hỏi về toán học
• Câu hỏi về văn học
• Câu hỏi về chính trị xã hội
• Trò chơi đố vui
• Tổng hợp câu hỏi đố vui
• 201 bài toán vui
• Luyện trí thông minh
• Toán tiểu học
• Câu hỏi toán học
• Bài toán đố vui
• sổ tay toán học
• phương pháp dạy học toán
• số học
• hình học không gian
• tài liệu toán học
• toán học phổ thông
• giáo trìnhtoán học
• bài giảng toán học
• đề cương toán học
• đại số
• tài liệu học môn toán
• thể tích khối đa diện
• giáo trình toán học
• Toán rời rạc
• toán
• tổ hợp toán
• bài tập toán
• tạp chí toán học
• Công thức toán học
• bất đẳng thức
• luyện thi toán
• căn bản bất đẳng thức
• căn bản toán học
• kiến thức toán
• Giáo án tự chọn môn Toán
• kinh nghiệm học toán
• phương pháp học toán
• bí quyết học toán hiệu quả
• công thức toán
• đề thi toán hay
• đề thi kiểm tra đầu năm môn toán 5
• kiểm tra chất lượng toán lớp 5
• giáo án hình học nâng cao
• Lagrange
• phương p
• hình học giải tích
• hình học
• xác xuất
• tổ hợp