TAILIEUCHUNG - Bài giảng Toán cao cấp về tích phân bất định
Bài giảng Toán cao cấp về tích phân bất định trình bày kiến thức lý thuyết, định nghĩa, công thức, các bài tập và ví dụ minh họa về tích phân bất định. Bài giảng này nhằm hỗ trợ kiến thức giúp các bạn học toán cao cấp về phần tích phân được tốt hơn. | TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ĐỊNH NGHĨA F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) F’(x) = f(x) f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM Ví dụ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Đổi biến: Đổi biến 1: x = u(t) dx = u’(t) dt f(x) dx = f(u(t))u’(t) dt Đổi biến 2: u(x) = t u’(x) dx = dt f(u(x))u’(x) dx = f(t) dt 2. Tích phân từng phần: u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) u’(x)v(x) dx Ví dụ Một số lưu ý khi dùng tp từng phần là đa thức bậc n. dv là phần còn lại u là phần còn lại Ví dụ TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Nguyên tắc: chuyển về các tích phân cơ bản Trong đó: * m là các số tự nhiên, * Các tam thức bậc 2 có = p2 - 4q 1) Tích phân các phân thức cơ bản Đạo hàm của MS (lấy hết Ax) Tích phân các phân thức cơ bản Ví dụ Tích phân các phân thức cơ bản Chứng minh quy nạp In ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH Hàm hữu tỷ: Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam thức ở mẫu có < 0, sẽ được phân tích ở dạng MỘT SỐ VÍ DỤ PHÂN TÍCH Tính A: nhân 2 vế với (x-1), sau đó thay x bởi 1 Để tính nhanh, trong biểu thức Che (x-1) rồi cho x = 1 ta tìm được A Tính B: nhân 2 vế với (x+3), sau đó thay x bởi -3 (hoặc che x+3 trong phân thức ban đầu) B = 7/4 Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1 Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1 Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3 Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1 Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3 Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1 Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3 Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1 Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3 Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x Sử dụng nguyên tắc chung Quy đồng mẫu số và đồng nhất tử số 2 vế Ví dụ tính tích phân TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ trong đó m1, n1, m2, n2 là các số nguyên. Phương pháp chung: đặt n là BSCNN(n1, n2) Ví dụ Các trường hợp riêng của tích phân Eurler Nguyên tắc chung: đưa về bình phương đúng của các tam thức dưới căn và áp dụng tp bảng. Tương tự cho trường hợp còn lại. Ví dụ Ví dụ TỔNG QUÁT Sau khi đưa tam thức bậc 2 về bình phương đúng, có thể rơi vào các TH sau: Đặt u = Asint, t [- /2, /2] Đặt u = A/sint, t [- /2, /2] Đặt u = Atant, t (- /2, /2) Lưu ý Đặt x – k = 1/u sẽ đưa về dạng Ví dụ Đặt u = tant TÍCH PHÂN TREBUSEV m,n, p là các sô hữu tỷ TH 1: p là số nguyên : Đặt x = tk, k là BSCNN mẫu số của m, n. TH 2: là số nguyên: TH 2: là số nguyên: Đặt axn +b = tk , k là mẫu số của p Đặt bx n +a = tk , k là mẫu số của p VÍ DỤ Ví dụ Đặt x-2 +1 = t2 -2x-3dx = 2tdt * m =2k + 1 * n =2k + 1 * m, n chẵn: dùng công thức hạ bậc TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Thay x bởi –x, biểu thức dưới dấu tp không đổi Thay x bởi –x, biểu thức dưới dấu tp không đổi Thay x bởi +x, biểu thức dưới dấu tp không đổi Tổng quát: VÍ DỤ Thay x bởi - x trong biểu thức dưới dấu tp Đặt x = sint Một dạng đặc biệt của tp hàm lượng giác Biểu diễn TỬ SỐ = A (đạo hàm mẫu số) + B (MẪU SỐ) +C Tìm A, B, C bằng đồng nhất thức. Ví dụ
đang nạp các trang xem trước
