TAILIEUCHUNG - A Course in Mathematical Statistics phần 4

Tham khảo tài liệu 'a course in mathematical statistics phần 4', ngoại ngữ, ngữ pháp tiếng anh phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | 144 6 Characteristic Functions Moment Generating Functions and Related Theorems r e-Ux t dt 2lim r f y SỈnT y . x dy. 8 -ro T ro -ro y x Setting T y x z expression 8 becomes e-Uxộ t dt 2 lim f x z dz J-TO X T ro -ro V T 7 z 2 f x n 2nf x by taking th e limit under the integral sign and by using continuity of f and the fact that si dz n. Solving for f x we have f w 2n roe -txộ t idt as asserted. A EXAMPLE 1 Let X be B n p . In the next section it will be seen that ộX t pè q n. Let us apply i to this expression. First of all we have 1 T . Í 1 T Í n í e-itxộ t dt -2 i pe q e-itxdt 2T -T 2T -T 1 .T n in V xr . í-T 5 r pe qn 21 _r 0 V r 7 - r e - itx dt n tnprqn - r í 2Tr 0 V r 7 J- T i r-x t . e 1 dt -T 5 2T r x n V r 7 prqn -r 1 i r - x Ợ i r - x t Te i r - x dt 1 n 2T Vx 7 pxqn x T í-Tdt n n n . 5 r pq r 0 V r 7 n r e i r - x T e r - x T r - x 1 n 2T Vx 7 pxqn x 2T n 5 r 0 r x n n prqn-- V r 7 sin r - x T r - x T i n Vx7 pxqn - x Taking the limit as T ro we get the desired result namely f x i ni pxqn- x. V x 7 Exercises 145 One could also use i for calculating f x since Ộ is clearly periodic with period 2n. EXAMPLE 2 For an example of the continuous type let X be N 0 1 . In the next section we will see that ộX t a 2. Since lộ t l a 2 we know that O0 t ldt so that ii applies. Thus we have f x r e-itxộ t dt re-itxe-t2 2dt 2n - 2n - 1 f - V2 t2 2itx 1 f - l 2 p2 21 ix ix 1 11 2 ix 2 . 1 e at 1 e L J e dt 2n - 2n - - 1 2 x2 2 - l 2 x1 e x 1 e x 1 2 i - e4 dt i -7 e III -tt - x Ln 2n Ln Ln - 1 2 x2 2_ 1 I e - A V2n y2n as was to be shown. THEOREM 3 Uniqueness Theorem There is a one-to-one correspondence between the characteristic function and the . of a random variable. PROOF The . of an . determines its . through the definition of the . The converse which is the involved part of the theorem follows from Theorem 2. À Exercises Show that for any . X and every t e R one has IEeitXl EleitXl 1 . Hint If z a ib a b e IR recall that z va2 b2. Also

• Ngữ pháp tiếng Anh
• ngữ pháp tiếng anh
• bài tập tiếng anh
• ngữ pháp anh văn
• bài tập ngữ pháp tiếng anh
• học tiếng anh
• đàm thoại tiếng anh
• Giáo trình ngữ pháp tiếng Anh
• Tài liệu ngữ pháp tiếng Anh
• Ngữ pháp tiếng Anh cơ bản
• Ngữ pháp tiếng Anh nâng cao
• Tổng hợp ngữ pháp tiếng Anh
• Ngữ pháp tiếng Anh toàn tập
• Ôn tập ngữ pháp tiếng Anh
• Ngữ pháp tiếng Anh cơ bản nhất
• Enghlish Grammar
• thì cơ bản trong tiếng anh
• ngữ pháp tiếng anh căn bản
• luyện tập ngữ pháp tiếng anh
• cách dùng thì trong tiếng anh
• tài liệu english grammar
• sổ tay tiếng anh
• anh văn cơ bản
• họ tiếng anh
• Bí quyết học tốt ngữ pháp tiếng anh
• Mẹo học tốt ngữ pháp tiếng anh
• Chia sẻ kinh nghiệm học ngữ pháp tiếng anh
• Cách học ngữ pháp tiếng anh
• Kinh nghiệm học ngữ pháp tiếng anh
• văn phạm anh văn
• Ngữ Pháp Thông Dụng trong Tiếng Anh
• Ngữ pháp tiếng Anh 9
• Tài liệu ngữ pháp tiếng Anh 9
• Kiến thức ngữ pháp tiếng Anh 9
• Cách dùng ngữ pháp tiếng Anh 9
• Phương pháp học ngữ pháp tiếng Anh 9
• Tìm hiểu ngữ pháp tiếng Anh 9
• Cấu trúc ngữ pháp tiếng anh
• Học ngữ pháp tiếng anh
• Ngữ pháp tiếng anh thông dụng
• các thì của tiếng anh
• Các ngữ pháp Tiếng Anh
• Ngữ pháp Tiếng Anh THPT
• Những ngữ pháp Tiếng Anh hay
• Các cách học ngữ pháp Tiếng Anh
• Quy luật ngữ pháp tiếng anh
• Bí kíp học ngữ pháp tiếng anh
• Mẹo học ngữ pháp tiếng anh
• Công cụ học ngữ pháp tiếng anh
• Học nhanh 3 cấp độ ngữ pháp tiếng Anh
• 3 cấp độ ngữ pháp tiếng Anh
• Ngữ pháp tiếng Anh theo cấp độ
• Tiếng anh căn bản
• Ôn thi ngữ pháp tiếng anh