TAILIEUCHUNG - BỘ MÔN TOÁN - THỐNG KÊ: TÍCH PHÂN

TÍCH PHÂN I. Tích phân bất định 1. Nguyên hàm - Tích phân bất định F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) nếu f(x) là đạo hàm của F(x), nghĩa là f (x) F/ (x) . Một hàm số có nhiều nguyên hàm, hai nguyên hàm khác nhau của một hàm số sai khác nhau đúng một hằng số. Tập các nguyên hàm của hàm f được ký hiệu là f (x)dx , và được gọi là tích phân bất định. | I. Tích phân bất định 1. Nguyên hàm - Tích phân bất định TÍCH PHÂN F x gọi là nguyên hàm của f x nếu f x là đạo hàm của F x nghĩa là f x F x . Một hàm số có nhiều nguyên hàm hai nguyên hàm khác nhau của một hàm số sai khác nhau đúng một hằng số. Tập các nguyên hàm của hàm f được ký hiệu là J f x dx và được gọi là tích phân bất định. 2. Các tính chất cơ bản 1 J f x dx J f x dx J df x f x 2 J f x g x dx J f x dx J g x dx 3 Jaf x dx aJ f x dx Bảng tích phân cơ bản a 1 J xadx C a -1 J ln x C a -1 J axdx Ậ- C J Ina Nói riêng J exdx ex C f dx . Ệ - I 2 arctgx C J1 x2 arcsinx C c dx -ựx2 A ln x V x2 A C J sinxdx - cosx C J cosxdx sinx C 1-3- J sin2x - cotgx C I- dx J cos2x tgx C c dx VI x Ví dụ 1 1 -1 1 JVxdx Jx2dx 1x 2 C dx 1 2 J 2 J x2dx -x C 3 2 5 3 J xựxdk J x2dx 2x2 C J J 5 347 4 JT xdx p x2 dx J x4dx 4x4 C _ f x4dx rx4 -1 . f dx f 9 . f dx x3 . _ 5 ỉ ỉ 1 dx Ị Ị x2- 1 dx J o --x arctgx C J x2 1 J x2 1 J x2 1 J x2 1 3 3. Các phương pháp tính tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Định lý Nếu J f x dx F x C thì J f ọ x ọ x dx F ọ x C trong đó ọ là hàm khả vi liên tục. 1 Phương pháp đổi biến thứ nhất Đặt u u x du u dx f x dx g u .du và J f x dx J g u du Bộ môn Tóan- Thống kê 1 Khoa Kinh Tế ĐHQG Ap dụng mệnh đề trên ta tính được J g u du. Từ đó suy ra J f x dx. Ví dụ Tính I J sin3 xdx Đặt u sinx du cosxdx I J si n3x. cosxdx J u3du . .4 -4 -U4 C s C 4 4 2 Phương pháp đổi biến thứ hai Đặtx p t dx p dt f x dx f p t p dt g t dt Ap dụng mệnh đề trên ta tính được J g t dt. Từ đó suy ra J f x dx. Ví dụ Tính I Jsl 4 - x2 dx Đặt x 2sint dx 2costdt I JV 4 - x2 dx Jy 4 - 4sin2t2castdt _. 2. .f1 cos2t. 4J cos2tdt 4J-2 dt 2t sin2t C Thay t arcsin x sin2t 2sintcost x 4- x2 ta được I 2arcsi nx x-J 4 - x2 C 3 Phương pháp tích phân từng phần Giả sử u u x và v v x là hai hàm số khả vi . Khi đó J udv uv - J vdu Quy tắc Cho P x là đa thức f x là hàm số nào đó. 1 Jf x exdx naẽ u f x dv exdx 2 J P x sinxdx naẽ u P x vaadv sinxdx 3 J P x cosxdx Ãaẽ u P x vaadv .

• Toán học
• giáo trình đại cương
• tài liệu học đại học
• giáo trình kinh tế
• giáo trình triết học
• giáo trình kinh tế vĩ mô
• giáo trình kinh tế vĩ mô
• giáo trình marketing
• đề cương hóa đại cương
• hóa đại cương
• giáo trình hóa đại cương
• bài giảng hóa đại cương
• tài liệu hóa đại cương
• lý thuyết hóa đại cương
• hóa đại cương B
• giáo trình hóa đại cương B
• bài giảng hóa đại cương B
• tài liệu hóa đại cương B
• đề cương hóa đại cương B
• lý thuyết hóa đại cương B
• Sinh học đại cương
• Giáo trình sinh học đại cương
• Bài giảng sinh học đại cương
• Tài liệu sinh học đại cương
• Đề cương sinh học đại cương
• Lý thuyết sinh học đại cương
• Tin học đại cương
• Giáo trình Tin học đại cương
• Đề thi trắc nghiệm tin học đại cương
• Bài giảng Tin học đại cương
• Tài liệu Tin học đại cương
• Bài tập Tin học đại cương
• Trắc địa đại cương
• Đề cương ôn tập trắc địa
• Giáo trình trắc địa đại cương
• Bài giảng trắc địa đại cương
• Tài liệu trắc địa đại cương
• Bài tập trắc địa đại cương
• Thực hành trắc địa đại cương