TAILIEUCHUNG - Báo cáo toán học: "A Combinatorial Proof of the Log-concavity of a famous sequence counting permutations"

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học trên tạp chí toán học quốc tế đề tài: A Combinatorial Proof of the Log-concavity of a famous sequence counting permutations. | A Combinatorial Proof of the Log-concavity of a famous sequence counting permutations Miklos Bona Submitted Nov 24 2004 Accepted Jan 11 2005 Published Jan 24 2005 Mathematics Subject Classifications 05A05 05A15 To Richard Stanley who introduced me to the area of log-concave sequences. Abstract We provide a combinatorial proof for the fact that for any fixed n the sequence i n k 0 k n of the numbers of permutations of length n having k inversions is log-concave. 1 Introduction Let p p1p2 pn be a permutation of length n or in what follows an n-permutation. An inversion of p is a pair i j of indices so that i j but pi pj. The enumeration of n-permutations according to their number i p of inversions and the study of numbers i n k of n-permutations having k inversions is a classic area of combinatorics. The best-known result is the following 4 . Theorem Let n 2. Then we have _ _ CD X x p X i n k xk 1 x 1 x x2 1 x x2 xn-1 -p2Sn k 0 Another classic result 3 is that the numbers i n k also count n-permutations having major index k. Details about this result and other related results can be found in 1 . University of Florida Gainesville FL 32611-8105. Partially supported by an NSA Young Investigator Award. Email bona@. THE ELECTRONIC JOURNAL OF COMBINATORICS 11 2 2005 N2 1 A somewhat less explored property of the numbers i n k is log-concavity. The sequence ak o k m is called log-concave if akak 2 a2 1 for all k. See 5 for a classic survey of log-concave sequences and see 2 for an update on that survey. A polynomial is called log-concave if its coefficients form a log-concave sequence. It is a classic result see for instance 1 for a proof that the product of log-concave polynomials is log-concave. Therefore Theorem immediately implies that the polynomial P 2Q i n k xk is logconcave that is the sequence i n 0 i n 1 i n 2 is log-concave. We could not hnd any previous proof of this fact that does not use generating functions. In this paper we will provide .

• Báo cáo khoa học
• tài liệu báo cáo nghiên cứu khoa học
• cách trình bày báo cáo
• kiến thức toán học
• báo cáo toán học
• công trình toán học
• Nghiên cứu khoa học
• Phương pháp nghiên cứu khoa học
• Bài giảng Phương pháp nghiên cứu khoa học
• Báo cáo nghiên cứu khoa học
• Trình bày báo cáo nghiên cứu khoa học
• Văn phong sử dụng trong báo cáo khoa học
• Báo cáo khoa học công nghệ
• Đề tài nghiên cứu khoa học
• Nghiên cứu công nghệ làm phân vi sinh
• Báo cáo nghiên cứu phân vi sinh
• Báo cáo tình hình nghiên cứu khoa học
• Mẫu Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Trình bày Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Nội dung Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Hình thức Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Biên bản nghiên cứu khoa học
• Báo cáo khoa học và kỹ thuật
• Đề tài nghiên cứu khoa học y khoa
• Báo cáo nghiên cứu cấp nhà nước
• Nghiên cứu chất lượng chế phẩm thuốc
• Báo cáo nghiên cứu công nghệ sinh học
• Đề tài nghiên cứu thuốc sâu sinh học
• Báo cáo khoa học kỹ thuật
• Báo cáo quản lý chất thải sinh hoạt
• Báo cáo khoa học môi trường
• Nghiên cứu khoa học về môi trường
• Báo cáo nghiên cứu vệ sinh môi trường
• Nghiên cứu tình hình nhiễm độc Cadimi
• Báo cáo chế phẩm sinh học
• Báo cáo nghiên cứu ứng dụng sinh học
• Cách viết báo cáo khoa học
• Quy trình nghiên cứu khoa học
• Báo cáo kết quả nghiên cứu
• báo cáo khoa học
• tuyển tập báo cáo khoa học
• báo cáo ngành toán học
• báo cáo ngành vật lý
• báo cáo ngành chăn nuôi
• Nghiên cứu công nghệ phôi vô tính
• Báo cáo nghiên cứu nông nghiệp
• Báo cáo công nghệ xử lý chất thải
• Báo cáo nghiên cứu khoa học công nghệ
• Kết quả nghiên cứu lúa lai
• Cây lương thực
• Cây thực phẩm
• Một số nguyên tắc nghiên cứu khoa học
• Tiêu chuẩn báo cáo nghiên cứu khoa học
• Nguyên tắc báo cáo khoa học
• Báo cáo nghiên cứu công trình
• Nghiên cứu độ rỗng trong đá chứa dầu khí
• Nghiên cứu công nghệ UV–Fenton
• Nghiên cứu công nghệ xử lý nước thải
• Đề tài y tế đảm bảo an toàn người bệnh
• Báo cáo xây dựng hệ thống y tế
• Kỹ thuật viết báo cáo nghiên cứu
• Viết báo cáo nghiên cứu
• Báo cáo nghiên cứu
• khoa học
• Hình thức soạn thảo văn bản báo cáo
• Báo cáo nghiên cứu nước thải rượu
• Báo cáo công nghệ thiết bị UASB
• Đề tài công nghệ vi sinh
• luận văn mẫu
• người lính việt nam
• sau chiến tranh
• báo cáo ngành triết học
• báo cáo ngành lịch sử
• báo cáo ngành văn học