TAILIEUCHUNG - Giáo trình giải tich 3 part 2

Để việc tự học có kết quả tốt sinh viên nên tham khảo thêm một số tài liệu khác có nội dung liên quan (đặc biệt là phần hướng dẫn giải các bài tập). Khó có thể nêu hết tài liệu nên tham khảo, ở đây chỉ đề nghị các tài liệu sau (bằng tiếng Việt) | 11 Một số tiêu chuẩn hội tụ đều Định lý 5. Tiêu chuẩn Cauchy Tích phân I t f f x t dx hội tụ đều trên a T khi và chỉ khi Ve 0 3a0 e a sao cho Vb1 b2 a0 Vt G T ĩ Ị f x t e. bi Chứng minh. Giả sử I t f x t dx hội tụ đều trên T. Khi đó Điều kiện a suy ra từ bất đẳng thức bĩ Ịf x t bi bi f x t Ịf x t b2 Nguợc lại với t cố định điều kiện suy ra I t hội tụ. Trong cho b2 0 suy ra I t hội tụ đều theo định nghĩa. Định lý 6. Tiêu chuẩn Weierstrass Giả sử 1 tồn tại hàm p x sao cho If x t I p x Vx a Vt E T 2 tích phân f p x dx hội tụ. a Khi đố tích phân I t f f x t dx hội tụ đều trên T. a Chứng minh. Theo tiêu chuẩn Cauchy đối với tích phân suy rộng hội tụ với mọi e 0 tổn tại a0 sao cho Suy ra t 2 Ị T x bi e Vbi b2 ao. ĩ Ị If x t i bi b Ị T x bi e. Theo Định lý 5 tích phân I t hội tụ đều. Để khảo sát tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số hội tụ đều chúng ta thiết lập mối quan hệ giữa nó và dãy hàm hội tụ đều. 12 Mệnh để 1. Giả sử tích phân I t f f x t dx hội tụ đều trên T và an với an a. là dãy số sao cho a lim an TO. Khi đố dãy hàm n In t Ị f x t dx a trên T. hội tụ đều tới hàm số I t Chứng minh. Do I t f f x t dx hội tụ trên T nên dãy hàm In t hội tụ tới I t trên T. Vì I t hội tụ đều nên với mọi e 0 tổn tại a0 sao cho Ịf x t b Vb a0 vt G T. G Vì lim an TO nên tổn tại N 0 sao cho với mọi n N ta có an b. Vậy n ta có an In t - I t Ịf x t -Ịf x t Ịf x t G a a an với mọi n N với mọi t E T. Từ đó In t hội tụ đều tới I t trên T. Tính liên tục Đinh lý 7. Nêu hàm f x t liên tục trên a to X c d và tích phân I t f f x t dx hội tụ trên trên c d thì I t liên tục trên c d . a Chứng minh. Gọi an với an a. là dãy số sao cho lim an TO và xét dãy n hàm a In t Ị f x t dx t E c d . a Với mỗi n cố định theo Định lý 1 hàm In t liên tục trên c d . Theo mệnh đề 1 dãy hàm In t hội tụ đều tới I t . Theo định lý về tính liên tục của dãy hàm hội tụ đều I t liên tục trên c d . 13 Tính khả vi Đinh lý 8. Giả sử a Hàm f x t liên tục và có đạo hàm riêng dt x t liên tục trên a X

• Toán học
• Giáo trình giải tich
• bài tập giải tich
• tài liệu giải tich
• hướng dẫn giải tich
• đề cương toán giải tich
• đề cương toán giải tích
• giáo trình