TAILIEUCHUNG - Giáo trình giải tích 1 part 2

3. Các định lý cơ bản. Theo ngôn ngữ của dãy số, tập các số hữu tỉ là không “đầy đủ” vì có các dãy 1 số trong Q nhưng không hội tụ về một số thuộc Q, chẳng hạn dãy x n = (1 + )n . n Các định lý sau đây thể hiện tính đầy đủ của tập số thực R. Nguyên lý đơn điệu bị chặn. Một dãy đơn điệu không giảm và bị chặn trên thì hội tụ, . (xn ≤ xn+1 , ∀n)&(∃M, xn | 10 Để tính giới hạn sau ta nhân lượng Hên hiệp để khử căn lim x n Vn 2 n tt 7n 1 lim ựn n -tt . r- n 2 n 1 lim n n v n 2 vn ĩ 1 7 n 2 7n 1 7n 2 7n 1 7n 2 7n 1 V lim -----. _ n rx r -Ị I 2 I lim n 1 _ 1 71 2 limự1 n limự1 n 1 3. Các định lý cơ bản. Theo ngôn ngữ của dãy số tập các số hữu tỉ là không đầy đủ vì có các dãy số trong Q nhưng không hội tụ về một số thuộc Q chẳng hạn dãy xn 1 n. Các định lý sau đây thể hiện tính đầy đủ của tập số thực R. Nguyên lý đơn điệu bị chặn. Một dãy đơn điệu không giảm và bị chặn trên thì hội tụ . xn xn 1 Vn 3M xn M in 3limxn Một dãy đơn điệu không tăng và bị chặn dưới thì hội tụ . xn xn 1 Vn 3m m xn Vn 3 limxn Chứng minh Trước hết nhận xét là nếu xn không tăng và bị chặn dưới thì dãy xn không giảm và bị chặn trên. Vậy chỉ cần chứng minh cho trường hợp xn không giảm và bị chặn trên. Do giả thiết bị chặn trên suy ra a sup xn n G N hữu hạn. Ta chứng minh lim xn a. Cho e 0. Theo định nghĩa của cận trên bé nhất mọi xn a và tồn tại xN sao cho a e xN. Từ tính đơn điệu không giảm khi n N a e xn a a e xn a e. Vậy lim xn a. Nhận xét. Nếu xn không giảm nhưng không bị chặn trên thì lim xn to. Tương tự nếu xn không tăng nhưng không bị chặn dưới thì lim xn . Nguyên lý dãy đoạn lồng nhau. Cho dãy các đoạn lồng nhau In an bn sao cho In D In 1 n E N. Khỉ đó tồn tại điểm chung cho mọi In . r newIn 0 Chứng minh Từ gỉa thiết ta có an an 1 bn 1 bn. Nậy dãy an không giảm và bị chặn trên còn bn không tăng và bị chặn dưới. Theo nguyên lý trên tồn Chương I. Số thực - Dãy số 11 tại a lim an và lim bn b. Hơn nữa do tính bảo toàn thứ tự a b. Rõ ràng a b c In Vn. Định lý Bolzano-Weierstrass. Mọi dãy bị chặn đều tồn tại dãy con hội tụ. Chứng minh Ta tìm dãy con hội tụ bằng phương pháp chia đôi Gỉa sử ao xn b0 Vn. Chia đôi đoạn Io ao bo . Một trong hai đoạn chia chứa vô số số hạng xn gọi là I1 Chọn n1 xn1 E I1 Tương tự chia đôi I1 có một trong hai đoạn con chứa vô số số hạng xn gọi 1 à I2 Chọn n2 n1 xn2 G I2. Lặp lại cách làm trên ta có

• Toán học
• Giáo trình giải tich
• bài tập giải tich
• tài liệu giải tich
• hướng dẫn giải tich
• đề cương toán giải tich
• đề cương toán giải tích
• giáo trình