TAILIEUCHUNG - THE CAUCHY – SCHWARZ MASTER CLASS - PART 14

Cancellation and Aggregation Hủy không phải là thường xuyên thảo luận là một đề tài tự đứng, nhưng nó là nguồn gốc của một số hiện tượng quan trọng nhất trong toán học. Với bất kỳ một khoản số thực hay phức tạp, chúng tôi luôn luôn có thể có được một ràng buộc bằng cách lấy giá trị tuyệt đối của summands, nhưng một bước đi như vậy thường phá hủy các yếu tố tinh tế hơn của vấn đề của chúng tôi. Nếu chúng tôi hy vọng sẽ tận dụng lợi thế của sự huỷ bỏ, chúng. | 14 Cancellation and Aggregation Cancellation is not often discussed as a self-standing topic yet it is the source of some of the most important phenomena in mathematics. Given any sum of real or complex numbers we can always obtain a bound by taking the absolute values of the summands but such a step typically destroys the more refined elements of our problem. If we hope to take advantage of cancellation we must consider summands in groups. We begin with a classical result of Niels Henrik Abel 1802-1829 who is equally famous for his proof of the impossibility of solving the general quintic equation by radicals and for his brief tragic life. Abel s inequality is simple and well known but it is also tremendously productive. Many applications of cancellation call on its guidance either directly or indirectly. Problem Abel s Inequality Let Z1 Z2 . zn denote a sequence of complex numbers with partial sums Sk Z1 Z2 Zk 1 k n. For each sequence of real numbers such that ai 0 2 an 0 one has IaiZi a2Z2 anZn I ai max ISk . 1 k n Making Partial Sums More Visible Part of the wisdom of Abel s inequality is that it shifts our focus onto the maximal sequence Mn maxi k n ISk I n 1 2 . even when our primary concern might be for the sums a1z1 a2z2 anzn. Shortly we will find that there are subtle techniques for dealing with maximal sequences but first we should attend to Abel s inequality and some of its consequences. The challenge is to bound the modulus of a1z1 a2z2 anzn with help from maxi k n ISk I so a natural first step is to use summation by parts to bring the partial sums Sk Z1 z2 zk into view. Thus 208 Cancellation and Aggregation 209 we first note that aiZi a2Z2 OnZn aiSi 2 S1 an Sn Sn-1 S1 a1 a2 S2 a2 a3 Sn-1 an-1 an Snan- This identity which is often called Abel s formula now leaves little left for us to do. It shows that a1z1 a2z2 anzn is bounded by S1 a1 a2 S2 a2 a3 Sn-1 an-1 an Sn an Sk a1 a2 a2 a3 an-1 an an 1 k n a1 max Sk 1 k n and the very easy proof

TỪ KHÓA LIÊN QUAN
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.