TAILIEUCHUNG - THE CAUCHY – SCHWARZ MASTER CLASS - PART 13

Majorization and Schur Convexity Majorization và lồi Schur là hai trong số các khái niệm hiệu quả nhất trong lý thuyết của sự bất bình đẳng. Họ thống nhất sự hiểu biết của chúng ta giới hạn quen thuộc, và họ chỉ cho chúng tôi vào bộ sưu tập lớn của kết quả chỉ lờ mờ cảm nhận mà không cần sự giúp đỡ của họ. Mặc dù majorization và lồi Schur một vài đoạn văn để giải thích, người ta tìm thấy với kinh nghiệm rằng cả hai khái niệm tuyệt đơn giản | 13 Majorization and Schur Convexity Majorization and Schur convexity are two of the most productive concepts in the theory of inequalities. They unify our understanding of many familiar bounds and they point us to great collections of results which are only dimly sensed without their help. Although ma jorization and Schur convexity take a few paragraphs to explain one finds with experience that both notions are stunningly simple. Still they are not as well known as they should be and they can become one s secret weapon. Two Bare-Bones Definitions Given an n-tuple 7 71 72 7n we let Y j 1 j n denote the jth largest of the n coordinates so 7 1 max 7j 1 j n and in general one has 7 1 7 2 7 n Now for any pair of real n-tuples a a1 a2 an and Ị3 p1 32 Ị3n we say that a is majorized by Ị3 and we write a Ị3 provided that a and Ị3 satisfy the following system of n 1 inequalities a 1 3 1 a 1 a 2 Ạ1 fi 2 . . . a 1 a 2 a n-1 Ạ1 p 2 P n-1 together with one final equality a 1 a 2 a n Ạ1 p 2 p n Thus for example we have the majorizations 1 1 1 1 2 1 1 0 3 1 0 0 4 0 0 0 and since the definition of the relation a Ị3 depends only on the 191 192 Majorization and Schur Convexity corresponding ordered values a j and P j we could just as well write the chain as 1 1 1 1 Y 0 1 1 2 Y 1 3 0 0 Y 0 0 4 0 . To give a more generic example one should also note that for any ai a2 . an we have the two relations a a . . a -Y ai a2 . . On Y ai a2 an 0 . . 0 where as usual we have set Õ a1 a2 . an n. Moreover it is immediate from the definition of majorization that relation -Y is transitive a -Y p and p -Y Y imply that a -Y Y. Consequently the 4-chain actually entails six valid relations. Now if Ac Rd and f A R we say that f is Schur convex on A provided that we have f a f p for all a p cA for which a Y p. Such a function might more aptly be called Schur monotone rather than Schur convex but the term Schur convex is now firmly rooted in tradition. By the same custom if the first .

• Toán học
• bất phương trình
• toán rời rạc
• kỹ thuật toán học
• bất đẳng thức
• tích phân
• Phương trình và bất phương trình
• Bài toán phương trình và bất phương trình
• Giải toán phương trình và bất phương trình
• Các dạng hương trình và bất phương trình
• Ôn tập bất phương trình
• Bài tập phương trình
• 500 bài toán điển hình
• Bài toán phương trình
• Hệ phương trình
• Hệ bất phương trình mũ logarit
• Bất phương trình logarit
• Hệ bất phương trình mũ
• Chuyên đề Phương trình
• Bất phương trình vô tỉ
• Hệ bất phương trình
• Phương pháp giải phương trình
• Phương pháp giải bất phương trình
• Giải hệ phương trình
• Phương pháp giải hệ phương trình
• Phương pháp giải hệ bất phương trình
• Bất phương trình vô tỷ
• Giải bất phương trình vô tỷ
• Phương trình vô tỷ không chứa tham số
• Chinh phục phương trình
• Ví dụ bất phương trình
• Cách giải bất phương trình
• Bài tập bất phương trình
• Lý thuyết phương trình
• Bất phương trình đại số
• Bất phương trình đại số bậc cao
• Phân thức hữu tỷ
• bất phương trình bặc 2
• công thức bất phương trình
• tài liệu bất phương trình
• đề cương bất phương trình
• Hệ bất phương trình hai ẩn
• Đại số lớp 10 chương 4 bài 2
• Bất phương trình hai ẩn
• Giáo án bất phương trình hai ẩn
• Giáo án hệ bất phương trình hai ẩn
• Giáo án đại số lớp 10
• Bất phương trình qua kì thi Đại học
• Câu hỏi Bất phương trình
• Đề thi Bất phương trình
• Ôn thi Đại học Cao đẳng môn Toán
• Bài giảng Đại số 10
• Bài giảng Đại số 10 Bài 2
• Bài 2 Bất phương trình
• Bài 2 Hệ bất phương trình một ẩn
• Bài giảng Hệ bất phương trình một ẩn
• Bất phương trình chứa tham số
• Bài giảng Đại số
• Bài giảng Đại số lớp 8
• Các dạng toán bất phương trình
• Bất phương trình một ẩn
• Bất phương trình bậc nhất một ẩn
• Giải bất phương trình
• Một số kỹ thuật giải bất phương trình
• Kỹ thuật giải bất phương trình
• Luyện giải bài tập bất phương trình
• Bài giảng Toán lớp 8
• Bài giảng điện tử lớp 8
• Quy tắc biến đổi bất phương trình
• Phương trình vô tỉ
• Hệ phương trình vô tỉ
• Phương trình mũ
• Phương trình logarit
• Sáng tạo và giải phương trình
• Giải phương trình
• Bất phương trình chứa căn thức
• Sách Toán học
• Tài liệu tự học môn Toán
• Tài liệu ôn tập Toán lớp 10
• Giá trị lớn nhất
• Giá trị nhỏ nhất
• Bài tập bất đẳng thức
• Phương pháp dạy học
• nghiệm của phương trình
• ôn tập toán học
• ôn thi toán đại học
• tính đơn điệu của hàm số
• chứng minh bất đẳng thức
• Phương trình hữu tỉ
• Bất phương trình hữu tỉ
• Tuyển tập 540 bài toán phương trình
• 540 bài toán phương trình
• Phương trình đại số
• Bài toán bất phương trình đại số
• Hệ bất phương trình logarit
• Phương pháp giải bất phương trình vô tỷ
• Toán học 12
• Toán học lớp 12
• Tài liệu Toán lớp 11
• Bài tập về bất đẳng thức
• Tài liệu ôn thi Đại học môn Toán