TAILIEUCHUNG - THE CAUCHY – SCHWARZ MASTER CLASS - PART 12

Symmetric Sums Thứ k tiểu đối xứng chức năng của n biến x1, x2,. . . , Xn là các đa thức định nghĩa ek công thức (x1, x2,., Xn)Các chức năng này được sử dụng trong hầu như tất cả các khoa học toán học, nhưng họ rút ra nhiều tầm quan trọng của kết nối mà họ cung cấp từ các hệ số của một đa thức và chức năng của nguồn gốc của nó. | 12 Symmetric Sums The fcth elementary symmetric function of the n variables x1 x2 . xn is the polynomial defined the formula efc x X2 . Xn Xil Xi2 Xik . 1 ii i2 --- ik n The first three of these polynomials are simply eo xi X2 . . . Xn 1 e1 x1 X2 . . . Xn X1 X2 . Xn and e2 xi X2 . xn yt XjXk while the nth elementary symmetric function is simply the full product en xi X2 . . . Xn X1X2 Xn. These functions are used in virtually every part of the mathematical sciences yet they draw much of their importance from the connection they provide between the coefficients of a polynomial and functions of its roots. To be explicit if the polynomial P t is written as the product P t t X1 t x2 t xn then it also has the representation P t tn e1 x tn 1 1 k ek x tn k 1 nen x where for brevity we have written ek x in place of ek x1 x2 . xn . The Classical Inequalities of Newton and Maclaurin The elementary polynomials have many connections with the theory of inequalities. Two of the most famous of these date back to the great Isaac Newton 1642-1727 and the Scottish prodigy Colin Maclaurin 178 Symmetric Sums 179 1696-1746 . Their namesake inequalities are best expressed in terms of the averages - . A _ ek x1 x2 . xn Ek x Ek x1 x2 . . . xn n which bring us to our first challenge problem. Problem Inequalities of Newton and Maclaurin Show that for all x G Rn one has Newton s inequalities Ek-1 x Ek 1 x E2 x for 0 k n and check that they imply Maclaurin s inequalities which assert that En n x En- n-1 x E2 x 1 2 Ei x for all x xi X2 . . xn such that Xk 0 for all 1 k n. Orientation and the AM-GM Connection If we take n 3 and set x x y z then Maclaurin s inequalities simply say xyz 1 3 i xy xz yz 1 2 x y z I 3 3 which is a sly refinement of the AM-GM inequality. In the general case Maclaurin s inequalities insert a whole line of ever increasing expressions between the geometric mean x1x2 xn 1 n and the arithmetic mean xi x2 xn n. From Newton to Maclaurin By Geometry .

• Toán học
• bất phương trình
• toán rời rạc
• kỹ thuật toán học
• bất đẳng thức
• toán rời rạc
• Phương trình và bất phương trình
• Bài toán phương trình và bất phương trình
• Giải toán phương trình và bất phương trình
• Các dạng hương trình và bất phương trình
• Ôn tập bất phương trình
• Bài tập phương trình
• 500 bài toán điển hình
• Bài toán phương trình
• Hệ phương trình
• Hệ bất phương trình mũ logarit
• Bất phương trình logarit
• Hệ bất phương trình mũ
• Chuyên đề Phương trình
• Bất phương trình vô tỉ
• Hệ bất phương trình
• Phương pháp giải phương trình
• Phương pháp giải bất phương trình
• Giải hệ phương trình
• Phương pháp giải hệ phương trình
• Phương pháp giải hệ bất phương trình
• Bất phương trình vô tỷ
• Giải bất phương trình vô tỷ
• Phương trình vô tỷ không chứa tham số
• Chinh phục phương trình
• Ví dụ bất phương trình
• Cách giải bất phương trình
• Bài tập bất phương trình
• Lý thuyết phương trình
• Bất phương trình đại số
• Bất phương trình đại số bậc cao
• Phân thức hữu tỷ
• bất phương trình bặc 2
• công thức bất phương trình
• tài liệu bất phương trình
• đề cương bất phương trình
• Hệ bất phương trình hai ẩn
• Đại số lớp 10 chương 4 bài 2
• Bất phương trình hai ẩn
• Giáo án bất phương trình hai ẩn
• Giáo án hệ bất phương trình hai ẩn
• Giáo án đại số lớp 10
• Bất phương trình qua kì thi Đại học
• Câu hỏi Bất phương trình
• Đề thi Bất phương trình
• Ôn thi Đại học Cao đẳng môn Toán
• Bài giảng Đại số 10
• Bài giảng Đại số 10 Bài 2
• Bài 2 Bất phương trình
• Bài 2 Hệ bất phương trình một ẩn
• Bài giảng Hệ bất phương trình một ẩn
• Bất phương trình chứa tham số
• Bài giảng Đại số
• Bài giảng Đại số lớp 8
• Các dạng toán bất phương trình
• Bất phương trình một ẩn
• Bất phương trình bậc nhất một ẩn
• Giải bất phương trình
• Một số kỹ thuật giải bất phương trình
• Kỹ thuật giải bất phương trình
• Luyện giải bài tập bất phương trình
• Bài giảng Toán lớp 8
• Bài giảng điện tử lớp 8
• Quy tắc biến đổi bất phương trình
• Phương trình vô tỉ
• Hệ phương trình vô tỉ
• Phương trình mũ
• Phương trình logarit
• Sáng tạo và giải phương trình
• Giải phương trình
• Bất phương trình chứa căn thức
• Sách Toán học
• Tài liệu tự học môn Toán
• Tài liệu ôn tập Toán lớp 10
• Giá trị lớn nhất
• Giá trị nhỏ nhất
• Bài tập bất đẳng thức
• Phương pháp dạy học
• nghiệm của phương trình
• ôn tập toán học
• ôn thi toán đại học
• tính đơn điệu của hàm số
• chứng minh bất đẳng thức
• Phương trình hữu tỉ
• Bất phương trình hữu tỉ
• Tuyển tập 540 bài toán phương trình
• 540 bài toán phương trình
• Phương trình đại số
• Bài toán bất phương trình đại số
• Hệ bất phương trình logarit
• Phương pháp giải bất phương trình vô tỷ
• Toán học 12
• Toán học lớp 12
• Tài liệu Toán lớp 11
• Bài tập về bất đẳng thức
• Tài liệu ôn thi Đại học môn Toán