TAILIEUCHUNG - THE CAUCHY – SCHWARZ MASTER CLASS - PART 8

The Ladder of Power Means Các định nghĩa thích hợp của sức mạnh có nghĩa là M0 được thúc đẩy bởi mong muốn tự nhiên để làm cho bản đồ t → Mt một chức năng liên tục trên tất cả các của R. vấn đề thách thức đầu tiên cho thấy làm thế nào điều này có thể đạt được, và nó cũng cho biết thêm một lớp mới của trực giác sự hiểu biết của chúng ta về có nghĩa là hình học. | 8 The Ladder of Power Means The quantities that provide the upper bound in Cauchy s inequality are special cases of the general means f n I 1 t Mt Mt x p 02Pkxk f k 1 where p p1 p2 . pn is a vector of positive weights with total mass of Pl p2 pn 1 and x x1 x2 . xn is a vector of nonnegative real numbers. Here the parameter t can be taken to be any real value and one can even take t TO or t TO although in these cases and the case t 0 the general formula requires some reinterpretation. The proper definition of the power mean Mo is motivated by the natural desire to make the map t Mt a continuous function on all of R. The first challenge problem suggests how this can be achieved and it also adds a new layer of intuition to our understanding of the geometric mean. Problem The Geometric Mean as a Limit For nonnegative real numbers xk k 1 2 . . n and nonnegative weights Pk k 1 2 . . n with total mass Pl P2 pn 1 one has the limit Approximate Equalities and Landau s Notation The solution of this challenge problem is explained most simply with the help of Landau s little o and big O notation. In this useful shorthand the statement limt 0 f t g t 0 is abbreviated simply by writing 120 The Ladder of Power Means 121 f t o g t as t 0 and analogously the statement that the ratio f t g t is bounded in some neighborhood of 0 is abbreviated by writing f t O g t as t 0. By hiding details that are irrelevant this notation often allows one to render a mathematical inequality in a form that gets most quickly to its essential message. For example it is easy to check that for all x 1 one has a natural two-sided estimate for log 1 x ỉ edu log 1 x x 1 x J1 u yet for many purposes these bounds are more efficiently summarized by the simpler statement log 1 x x O x2 as x 0. Similarly one can check that for all x 1 one has the bound XX x 2 xj - 2 1 x e 1 x x2 1 x ex2 though again for many calculations we only need to know that these bounds give us the relation ex 1 x O x2 .

• Toán học
• bất phương trình
• toán rời rạc
• kỹ thuật toán học
• bất đẳng thức
• toán rời rạc
• Phương trình và bất phương trình
• Bài toán phương trình và bất phương trình
• Giải toán phương trình và bất phương trình
• Các dạng hương trình và bất phương trình
• Ôn tập bất phương trình
• Bài tập phương trình
• 500 bài toán điển hình
• Bài toán phương trình
• Hệ phương trình
• Hệ bất phương trình mũ logarit
• Bất phương trình logarit
• Hệ bất phương trình mũ
• Chuyên đề Phương trình
• Bất phương trình vô tỉ
• Hệ bất phương trình
• Phương pháp giải phương trình
• Phương pháp giải bất phương trình
• Giải hệ phương trình
• Phương pháp giải hệ phương trình
• Phương pháp giải hệ bất phương trình
• Bất phương trình vô tỷ
• Giải bất phương trình vô tỷ
• Phương trình vô tỷ không chứa tham số
• Chinh phục phương trình
• Ví dụ bất phương trình
• Cách giải bất phương trình
• Bài tập bất phương trình
• Lý thuyết phương trình
• Bất phương trình đại số
• Bất phương trình đại số bậc cao
• Phân thức hữu tỷ
• bất phương trình bặc 2
• công thức bất phương trình
• tài liệu bất phương trình
• đề cương bất phương trình
• Hệ bất phương trình hai ẩn
• Đại số lớp 10 chương 4 bài 2
• Bất phương trình hai ẩn
• Giáo án bất phương trình hai ẩn
• Giáo án hệ bất phương trình hai ẩn
• Giáo án đại số lớp 10
• Bất phương trình qua kì thi Đại học
• Câu hỏi Bất phương trình
• Đề thi Bất phương trình
• Ôn thi Đại học Cao đẳng môn Toán
• Bài giảng Đại số 10
• Bài giảng Đại số 10 Bài 2
• Bài 2 Bất phương trình
• Bài 2 Hệ bất phương trình một ẩn
• Bài giảng Hệ bất phương trình một ẩn
• Bất phương trình chứa tham số
• Bài giảng Đại số
• Bài giảng Đại số lớp 8
• Các dạng toán bất phương trình
• Bất phương trình một ẩn
• Bất phương trình bậc nhất một ẩn
• Giải bất phương trình
• Một số kỹ thuật giải bất phương trình
• Kỹ thuật giải bất phương trình
• Luyện giải bài tập bất phương trình
• Bài giảng Toán lớp 8
• Bài giảng điện tử lớp 8
• Quy tắc biến đổi bất phương trình
• Phương trình vô tỉ
• Hệ phương trình vô tỉ
• Phương trình mũ
• Phương trình logarit
• Sáng tạo và giải phương trình
• Giải phương trình
• Bất phương trình chứa căn thức
• Sách Toán học
• Tài liệu tự học môn Toán
• Tài liệu ôn tập Toán lớp 10
• Giá trị lớn nhất
• Giá trị nhỏ nhất
• Bài tập bất đẳng thức
• Phương pháp dạy học
• nghiệm của phương trình
• ôn tập toán học
• ôn thi toán đại học
• tính đơn điệu của hàm số
• chứng minh bất đẳng thức
• Phương trình hữu tỉ
• Bất phương trình hữu tỉ
• Tuyển tập 540 bài toán phương trình
• 540 bài toán phương trình
• Phương trình đại số
• Bài toán bất phương trình đại số
• Hệ bất phương trình logarit
• Phương pháp giải bất phương trình vô tỷ
• Toán học 12
• Toán học lớp 12
• Tài liệu Toán lớp 11
• Bài tập về bất đẳng thức
• Tài liệu ôn thi Đại học môn Toán