TAILIEUCHUNG - Bất đẳng thức Ptolemy và ứng dụng

Bất đẳng thức Ptolemy và trường hợp đặc biệt của nó, định lý Ptolemy về tính chất của tứ giác nội tiếp là một trong những kết quả kinh điển và đẹp của hình học sơ cấp. Có thể nói, bất đẳng thức Ptolemy và định lý Ptolemy đẹp từ các cách chứng minh đa dạng đến những ứng dụng phong phú trong các bài toán chứng minh, trong tính toán hình học và trong các bài toán bất đẳng thức hình học. . | Bất đẳng thứe Ptolemy và ứng dụng Trần Nam Dũng Bất đẳng thứe Ptolemy và trường hợp đặe biệt eủa nó định lý Ptolemy về tính ehất của tứ giáe nội tiếp là một trong những kết quả kinh điên và đẹp của hình họe sơ cấp. Có thể nói bất đẳng thứe Ptolemy và định lý Ptolemy đẹp từ eáe eáeh ehứng minh đa dạng đến những ứng dụng phong phú trong eáe bài toán chứng minh trong tính toán hình họe và trong các bài toán bất đẳng thứe hình họe. Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét những khía eạnh thú vị eủa bất đẳng thứe Ptolemy chứng minh một luận điểm thú vị là bất đẳng thứe Ptolemy thựe ehất vừa là hệ quả vừa là mở rộng eủa bất đẳng thứe tam giáe. Tiếp theo ehúng ta sẽ xem xét các ứng dụng phong phú eủa eáe kết quả này trong hình họe và cả trong eáe môn họe kháe như số họe lý thuyết đồ thị . Bất đẳng thức Ptolemy là hệ quả của bất đẳng thức tam giác Ai cũng biết bất đẳng thứe tam giáe Với A B c là ba điểm bất kỳ trên mặt phẳng ta eó AB BC AC 1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A B c thẳng hàng và B nằm giữa A và C. Nói cách khác AB kBC với k là một số thựe dương. Trong khi đó bất đẳng thứe Ptolemy khẳng định Với 4 điểm A B c D bất kỳ trên mặt phẳng ta eó - 2 . Rõ ràng theo một quan điểm nào đó thì bất đẳng thứe Ptolemy chính là mở rộng của bất đẳng thứe tam giáe. Vì sao vậy Xin giải thíeh lý do Chia hai vế eủa 2 eho BD ta đượe ABCD BCAD AC BD BD Nếu ehọn D đủ xa thì từ đây ta sẽ suy ra AB - BC AC. Điều này nghe cũng ngạe nhiên tuy nhiên lợi íeh đem lại eủa sự đặe biệt hoá này không nhiều vì chẳng lẽ lại dùng bất đẳng thứe Ptolemy eao siêu để ehứng minh bất đẳng thứe tam giáe vốn đượe eoi như tiên đề Tuy nhiên một logieh rất tự nhiên dẫn ehúng ta đến một ý tưởng hữu íeh hơn Như vậy bất đẳng thứe Ptolemy eó liên quan đến bất đẳng thứe tam giáe. Vậy eó thể là bất đẳng thứe Ptolemy có thể được ehứng minh nhờ vào bất đẳng thứe tam giáe Điều này quả là như vậy. Ba phép chứng minh tiêu biểu dưới đây sẽ minh chứng eho luận điểm này Cách chứng minh thứ nhất Sử dụng .

• Trung học phổ thông
• bồi dưỡng học sinh giỏi toán
• tài liệu toán thi học sinh giỏi
• toán nâng cao
• olympic toán học
• tài liệu toán nâng cao
• Bồi dưỡng học sinh giỏi
• Bồi dưỡng Toán THCS
• Biện pháp bồi dưỡng
• Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
• Chuyên đề học sinh giỏi
• Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6
• Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán
• Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Lớp 6
• Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi
• Giải Toán bằng máy tính Casio
• Kỹ năng giải Toán
• Bài tập Toán 6
• Ôn tập Toán 6
• Đề thi học sinh giỏi Toán
• Bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi
• Toán lớp 8
• Bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
• Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8
• Bài toán học sinh giỏi Toán lớp 8
• Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9
• Ôn tập Toán đại số lớp 9
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán đại số lớp 9
• Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9
• 10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi
• Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán
• Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 12
• Ôn tập Toán
• Bài tập Toán
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Hình học 12
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi 12
• Khối đa diện
• Thể tích khối đa diện
• Phương pháp tọa độ trong không gian
• Phương trình mặt phẳng
• Khối tròn xoay
• Tọa độ không gian
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Giải tích 12
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Giải tích
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12
• Ứng dụng đạo hàm
• Đồ thị hàm số
• Hàm số mũ
• Hàm số logarit
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Giải tích
• Hàm số lũy thừa
• Phương pháp biến đổi biến số
• Phương trình số phức
• Dạng lượng giác
• Căn bậc hai số phức
• 20 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 8
• Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8
• Đề thi học sinh giỏi Toán 8
• Đề thi HSG môn Toán lớp 8
• Luyện thi học sinh giỏi môn Toán THCS
• Ôn thi Toán 8
• Bài tập Toán 8
• Thực hành giải toán tiểu học
• Giải toán tiểu học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi tiểu học
• Bài toán về chuyển động
• Bài toán về suy luận logic
• Bài toán có nội dung hình học
• Giáo viên tiểu học
• Số thập phân
• Bài toán điền số vào phép tính
• Bài toán về chia hết
• Đề thi kết thúc học phần
• Đề thi kết thúc môn học
• Đề thi môn Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán
• Giáo dục tiểu học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số 9
• Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số
• Đại số 9
• Phương trình bậc chia
• Hệ phương trình
• Phương trình nghiệm nguyên
• Phương trình vô tỷ
• Bất phương trình quy về bậc nhất
• Giá trị lớn nhất
• Giá trị nhỏ nhất
• Học sinh giỏi Toán THCS
• Đề thi bồi dưỡng HSG Toán 12
• Đề bồi dưỡng Toán 12
• Đề thi HSG môn Toán 12
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán
• Đề thi học sinh giỏi lớp 12
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT
• Ôn thi Toán 12
• Bài tập Toán 12
• Luyện thi HSG Toán 12
• Đề thi học sinh giỏi Toán học 9
• Nội dung bồi dưỡng Toán học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán học
• Bài tập học sinh giỏi Toán học
• Ôn tập Toán học
• Đề cương ôn tập Toán học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6
• Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán 6
• Bồi dưỡng số học lớp 6
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6
• Ôn thi Toán 6
• Bài tập số học lớp 6
• Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9
• Toán lớp 9 nâng cao
• Bài tập Toán lớp 9
• Bài tập bồi dưỡng lớp 9
• Câu hỏi môn Toán
• Giải bài tập Toán lớp 9