TAILIEUCHUNG - Junior problems - Phần 2

Tham khảo tài liệu 'junior problems - phần 2', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Junior problems J175. Let a b 2 0 2 such that sin2 a cos 2b 2 sec a and sin2 b cos 2a 2 sec b. Prove that cos6 a cos6 b 1 2 Proposed by Titu Andreescu University of Texas at Dallas USA Solution by Prithwijit De HBCSE India We will use the following well-known trigonometric identities a sin2 x 1 cos2 x b cos 2x 2 cos2 x 1 c sec x - . cos x The inequalities can be written as 2 cos2 b cos a cos3 a 1 2 and 2 cos2 a cos b cos3 b ị 2 1 2 The signs of the inequalities are preserved because cos x is positive when x 2 0 Now by squaring both sides of 1 and 2 and adding them we get cos6 a cos6 b I Also solved by Arkady Alt San Jose California USA Daniel Lasaosa Universidad Pública de Navarra Spain Perfetti Paolo Dipartimento di Matematica Universita degli studi di Tor Vergata Roma Italy Tigran Hakobyan Armenia. Mathematical Reflections 6 2010 1 J176. Solve in positive real numbers the system of equations X1 X2 -------- Xn 1 ĩ é ê X1 X2 Xn X1X2 -X n3 1. Proposed by Neculai Stanciu George Emil Palade Secondary School Buzau Romania Solution by Tigran Hakobyan Armenia We have 1 1 1 n 2 X1 X2 Xn X1 X2 ---- Xn and 1 1 n X1X2 Xn X1 X2 - x n n . Thus n3 1 nn n2 which implies that n 2. If n 1 we get a contradiction. For n 2 we get X1 X 2 1 21 9 X1 X2 X1X2 which is n X1 X2 2 2 3 3 2 3 1 . Also solved by Arkady Alt San Jose California USA Daniel Lasaosa Universidad Pública de Navarra Spain Perfetti Paolo Dipartimento di Matematica Universita degli studi di Tor Vergata Roma Italy Lorenzo Pascali Università di Roma La Sapienza Roma Italy. Mathematical Reflections 6 2010 2 J177. Let x y z be nonnegative real numbers such that ax by cz 3abc for some positive real numbers a b c. Prove that 4 1 . l abe 5a 5b 5c . Proposed by Titu Andreescu University of Texas at Dallas USA Solution by the author From the given condition 3a ax y z - Tc c b 3b by . c ca a 3c - x y ị. b a ab Then 3 a b c y 2 ca z x f ax by cz b bc ca ab hence Oe 5 a b c 4 4y z 4 44 4 4abc ỵx. ặ 4 cj af bf bc ca ab f 2p2 x y 2p y

• Toán học
• bồi dưỡng học sinh giỏi toán
• tài liệu toán thi học sinh giỏi
• toán nâng cao
• olympic toán học
• tài liệu toán nâng cao
• Bồi dưỡng học sinh giỏi
• Bồi dưỡng Toán THCS
• Biện pháp bồi dưỡng
• Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
• Chuyên đề học sinh giỏi
• Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6
• Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán
• Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Lớp 6
• Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi
• Giải Toán bằng máy tính Casio
• Kỹ năng giải Toán
• Bài tập Toán 6
• Ôn tập Toán 6
• Đề thi học sinh giỏi Toán
• Bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi
• Toán lớp 8
• Bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
• Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8
• Bài toán học sinh giỏi Toán lớp 8
• Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9
• Ôn tập Toán đại số lớp 9
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán đại số lớp 9
• Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9
• 10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi
• Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán
• Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 12
• Ôn tập Toán
• Bài tập Toán
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Hình học 12
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi 12
• Khối đa diện
• Thể tích khối đa diện
• Phương pháp tọa độ trong không gian
• Phương trình mặt phẳng
• Khối tròn xoay
• Tọa độ không gian
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Giải tích 12
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Giải tích
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12
• Ứng dụng đạo hàm
• Đồ thị hàm số
• Hàm số mũ
• Hàm số logarit
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Giải tích
• Hàm số lũy thừa
• Phương pháp biến đổi biến số
• Phương trình số phức
• Dạng lượng giác
• Căn bậc hai số phức
• 20 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 8
• Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8
• Đề thi học sinh giỏi Toán 8
• Đề thi HSG môn Toán lớp 8
• Luyện thi học sinh giỏi môn Toán THCS
• Ôn thi Toán 8
• Bài tập Toán 8
• Thực hành giải toán tiểu học
• Giải toán tiểu học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi tiểu học
• Bài toán về chuyển động
• Bài toán về suy luận logic
• Bài toán có nội dung hình học
• Giáo viên tiểu học
• Số thập phân
• Bài toán điền số vào phép tính
• Bài toán về chia hết
• Đề thi kết thúc học phần
• Đề thi kết thúc môn học
• Đề thi môn Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán
• Giáo dục tiểu học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số 9
• Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số
• Đại số 9
• Phương trình bậc chia
• Hệ phương trình
• Phương trình nghiệm nguyên
• Phương trình vô tỷ
• Bất phương trình quy về bậc nhất
• Giá trị lớn nhất
• Giá trị nhỏ nhất
• Học sinh giỏi Toán THCS
• Đề thi bồi dưỡng HSG Toán 12
• Đề bồi dưỡng Toán 12
• Đề thi HSG môn Toán 12
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán
• Đề thi học sinh giỏi lớp 12
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT
• Ôn thi Toán 12
• Bài tập Toán 12
• Luyện thi HSG Toán 12
• Đề thi học sinh giỏi Toán học 9
• Nội dung bồi dưỡng Toán học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán học
• Bài tập học sinh giỏi Toán học
• Ôn tập Toán học
• Đề cương ôn tập Toán học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6
• Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán 6
• Bồi dưỡng số học lớp 6
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6
• Ôn thi Toán 6
• Bài tập số học lớp 6
• Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9
• Toán lớp 9 nâng cao
• Bài tập Toán lớp 9
• Bài tập bồi dưỡng lớp 9
• Câu hỏi môn Toán
• Giải bài tập Toán lớp 9