TAILIEUCHUNG - Bài tập và công thức nội suy Lagrange

4. Công thức nội suy Lagrange . Các ví dụ mở đầu Ví dụ 1. Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn điều kiện: P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 4. Lời giải. Rõ ràng nếu P và Q là hai đa thức thoả mãn điều kiện đề bài thì P(x) – Q(x) sẽ bằng 0 tại các điểm 1, 2, 3 và từ đó, ta có P(x) – Q(x) = (x-1)(x-2)(x3)H(x). Ngược lại, nếu P(x) là đa thức thoả mãn điều kiện đề bài thì các đa thức Q(x) = P(x) + (x-1)(x-2)(x-3)H(x) cũng thoả. | 4. Công thức nội suy Lagrange . Các ví dụ mở đầu Ví dụ 1. Tìm tất cả các đa thức P x thoả mãn điều kiện P 1 1 P 2 2 P 3 4. Lời giải. Rõ ràng nếu P và Q là hai đa thức thoả mãn điều kiện đề bài thì P x -Q x sẽ bằng 0 tại các điểm 1 2 3 và từ đó ta có P x - Q x x-1 x-2 x-3 H x . Ngược lại nếu P x là đa thức thoả mãn điều kiện đề bài thì các đa thức Q x P x x-1 x-2 x-3 H x cũng thoả mãn điều kiện đề bài với mọi H x . Từ đó có thể thấy rằng có vô số các đa thức thoả mãn điều kiện đề bài. Ta đặt ra câu hỏi Trong các đa thức thoả mãn điều kiện đề bài hãy tìm đa thức có bậc nhỏ nhất. Rõ ràng đa thức này không thể là hằng số cũng không thể là bậc nhất. Ta thử tìm bậc tiếp theo là bậc 2. Giả sử P x ax2 bx c là đa thức thoả mãn điều kiện đề bài. Khi đó P 1 1 suy ra a b c 1 P 2 2 suy ra 4a 2b c 2 P 3 3 suy ra 9a 3b c 4 Giải hệ này ra ta được nghiệm duy nhất a b c 1 2 -1 2 1 ta được P x 1 2 x2 - 1 2 x 1 là đa thức bậc nhỏ nhất thoả mãn điều kiện. Và theo như lý luận ở trên mọi nghiệm của bài toán sẽ có dạng Q x P x x-1 x-2 x-3 H x với H x là một đa thức tuỳ ý. Ví dụ 2. Tìm đa thức bậc nhỏ nhất thoả mãn điều kiện P -2 0 P -1 1 P 0 1 P 1 2 P 2 3. Lời giải. Từ ý tưởng phương pháp hệ số bất định và hệ phương trình bậc nhất ở trên. Ta thấy rằng chắn chắn sẽ tồn tại đa thức bậc không quá 4 thoả mãn điều kiện đề bài. Xét P x ax4 bx3 cx2 dx e. Từ điều kiện đề bài suy ra hệ 16a - 8b 4c - 2d e 0 a - b c - d e 1 e 1 a b c d e 2 16a 8b 4c 2d e 3 Giải hệ này ta được a -1 8 b 1 12 c 5 8 d 5 12 e 1. . Công thức nội suy Lagrange Từ các ví dụ cụ thể nêu trên ta có thể dự đoán rằng với mọi các bộ n 1 số phân biệt a0 ai . an và bộ n 1 số bất kỳ bo bi . bn sẽ tồn tại một đa thức P x bậc không vượt quá n thoả mãn điều kiện P ai bi với mọi i 0 1 2 . n. Ngoài ra do tất cả các đa thức Q x thoả mãn sẽ phải có dạng Q x P x x-a0 x-a1 . x-an H x với H x là một đa thức nào đó nên các nghiệm khác của đều có bậc n 1. Vì thế ta có thể đề xuất định lý sau Định lý. Cho bộ n 1 số thực phân biệt a0 a1 . an

• Hoá học
• luyện kỹ năng giải nhanh toán
• đề toán trường chuyên
• luyện thi đại học môn hóa
• giải nhanh bài tập toán
• ôn thi hóa
• luyện thi lý
• Sáng kiến kinh nghiệm
• Rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 12
• Rèn luyện kỹ năng giải nhanh bài toán
• Kỹ năng bài toán nguyên hàm
• Kỹ năng bài toán tích phân
• Phương pháp liên kết tích phân
• luyện thi đại học
• bài tập hóa
• đề thi hóa
• giải nhanh toán hóa học
• Rèn luyện kỹ năng
• Phương pháp học tập
• Phương pháp dạy học
• Kỹ năng dạy học
• Đổi mới phương pháp dạy học
• Kỹ năng giải nhanh toán trắc nghiệm
• Hàm số bậc ba
• Rèn luyện
• kỹ năng
• đề thi ĐH và CĐ 2007 2008
• ôn thi ĐHCĐ
• thi trường chuyên
• giải nhanh bài tậ