TAILIEUCHUNG - Bất đẳng thứ Karamata và một số ứng dụng

Tài liệu học tập và luyện thi, nhằm giúp các bạn có cách nhìn toàn diện về kiến thức và kĩ năng cần nắm vững trước khi bước vào kỳ thi với tâm thế vững vàng nhất. Tác giả hi vọng tài liệu này sẽ là tài liệu bổ ích cho các em. | Bất Đẳng Thức Karamata và Một Số Ứng Dụng Cao Minh Quang THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Vĩnh Long 1. Lời giới thiệu Jovan Karamata sinh ngày 1 tháng 2 năm 1902 tại Zagreb Serbia. Bắt đầu học ở khoa cơ khí từ năm 1920 nhưng đến năm 1922 ông chuyển đến khoa toán để học. Tốt nghiệp năm 1925 ngay lập tức Karamata được nhận làm trợ giảng cho giáo sư Mihailo Petrovic. Ông nhận được học vị tiến sĩ năm 1926 trở thành giáo sư Đại học Belgrade vào năm 1950. Năm 1951 Karamata rời Belgrade đến giảng dạy tại Đại học Geneva. Ông sống và làm việc ở đây đến cuối đời. Karamata mất ngày 14 tháng 8 năm 1967. Bất đẳng thức Karamata là một dạng tổng quát của bất đẳng thức Jensen. 2. Bất đẳng thức Karamata Trước hết ta sẽ định nghĩa các bộ trội. . Định nghĩa. Nếu x x2 . xn yỴ y2 . yn x yp X1 x2 yỴ y2 . x x2 . xn_Ỵ yỴ y . y và X1 x2 . xn y1 y2 . yn thì ta nói bộ x1 x2 . xn trội hơn bộ y1 y2 . yn và ta kí hiệu là X x2 . xn yvy hay yvy2 . yn x1 x2 . xn . Hiển nhiên nếu x1 x2 . xn thì x1 x2 . xn x x . x trong đó x x1 x2 . x . n . Bất đẳng thức Karamata Nếu hàm số f x là hàm lồi trên đoạn I a b và x1 x2 . xn y1 y2 . yn với mọi xt yt I thì f x1 f x2 f xn f y1 f y2 f yn Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xt yt i 1 2 . n Ta cũng có phát biểu tương tự đối với hàm số lõm bằng cách đổi chiều dấu bất đẳng thức. Chứng minh. Vì f x là hàm lồi nên f x f y x y .f y Vx y I Thật vậy Nếu x y thì f a f y a y x x y Nếu x y thì f y _ f x f ß f y ß e x y y x Từ đó suy ra f x f yt x ytỴf yt Vxi yt 1 i 1 2 . n Chú ý rằng f yị f yi 1 x1 x2 x y1 y2 yị i 1 2 . n 1 sử dụng khai triển Abel ta có Ê f x f y ib x. y. f y. x1 y-1 H y-1 x y2 f y2 . x y f y. i 1 i 1 x1 y1 f y1 f y2 x1 x2 y1 y2 f y2 f y3 x1 x2 xn y1 y2 yn f yn--1 f yn x1 x2 xn y1 y2 yn f yn 0. 1 Do đó f xi f x2 . f xn f yi f y2 . f yn . . Hệ quả. Bất đẳng thức Jensen . Nếu hàm số f x là hàm lồi trên đoạn I a b thì với mọi Xị G I i 1 2 . n ta có f x f x2 . f xn nff x x . x . n Chứng minh. Do tính chất đối xứng không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

TỪ KHÓA LIÊN QUAN
TÀI LIỆU LIÊN QUAN