TAILIEUCHUNG - Chứng minh Bất đẳng thức

Tài liệu ôn thi môn toán tham khảo về phương pháp Chứng minh Bất đẳng thức. Chương I trình bày về phương pháp Chứng minh Bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương. Nội dung trình bày gồm: Tính chất cơ bản, vài bất đẳng thức thông dụng, ví dụ minh hoạ và lời giải. Chương II trình bày về bất đẳng thức cosi (Cauchy). | Chương I ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I. Tính chất cơ bản ax bx khi x 0 a. a b ax bx khi x 0 b. a b x y Chú ý b y a x b y a - b x - y ab xy ax by a x 0 c. V ab xy b y 0 d. a b a2 b2 Hệ quả a b a2 b2 o An 11 e. a b 0 a b 11 a b 0 ab f A 0 x A -A x A . . f x - A x A 1 1 x A II. Vài bất đẳng thức thông dụng Với a b c . tùy ý a b c. eR a. a2 b2 2ab Dâu xảy ra a b b. a2 b2 c2 ab bc ca Dâu xảy ra a b c -T 7 r. _r f . T_ 1 1 7 . 1 1 4 c. Với a b 0 ta có a b 1 y I 4 y 1 a b 1 a b a b -Ạ -A. I Ạ. I k A III. Các ví dụ n n 1 -11 1 1 Ấ. 1 r - 4 4 Chứng minh bât đăng thức tan x - tan y 1 - tan x tan y 1 Giải x y eí-4 41thì -1 tanx tany 1 0 tan2 x tan2y 1 Ta có tan x - tan y 1 - tan x tan y 1 1 tan2 x tan2 y-2tanxtany 1 -2tanxtany tan2 xtan2 y tan2 x tan2 y - tan2 x tan2 y -1 0 tan2 x 1 - tan2 y - 1 - tan2 y 0 1 - tan2 y tan2 x -1 0 Luôn đúng Vx y e Ví dụ 2 Chứng minh rằng với mọi số thực a b c thỏa mãn điêu kiện a b c 1 thì 111 a b c I 3a 3b 3c I 3a 3b 3c I Giải Vì hàm số 1 giảm nên ta có x 1 1 a b a b 0 a - b 1 T I r 7 7 I3a 3b I 3b 3a 3a 3b Tương tự ta có b c b c c a c a 3c 3b 3b 3c 3 3c 3c 3a Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên chú ý rằng a b c 1 ta được 111 a b c Y a b c w w I w w w I 21 r I 3a 3b 3c I3a 3b 3 I I3 3b 3c I 111 a b c _. tt 3 t tt tt I đpcm 3a 3b 3c I 3a 3b 3c I Ví dụ 3 a. Cho x 0 y 0 và xy 1. Chứng minh 2 _L_ 1 1 Jxy 1 x 1 y b. Cho 0 a b c d và bd 1. Chứng minh 4 1 1 11 1 V abcd 1 a 1 b 1 c 1 d Giải a. Vì x 0 y 0 nên bất đẳng thức 1 tương đương với 2 1 x 1 y 1 Xxy 1 y 1 4xỹ 1 x 2 2x 2y 2xy 1 X y y y x 1 yl x x y x y 2xy Xxỳ x y 2 x y -X y x y 2 xy-Xxy 0 x y 1 -yỊxy 2y xỹ Jxy-1 0 1 xy x y - 2y ỹy 0 2 O 1 -y xy Vx -y ỹ 2 0 2 yfx-ỵ ỹ 2 0 A z_ zi x Vì t 2_ nên 2 đúng đpcm a b c d 0 b. ta b c d nên t bd 1 a b c d 0 a b ac db 1 L bd 1 Theo kếtquả câu a tacó Í z _ ---- -- --J a c 0 ac 1 1 a 1 c 1 4ac t - b d 0 bd 1 1 c 1 d 1 ạ bd 1 1 11 . 1 1 --- -T ---- -7 -------1 -. 1 a 1 b 1 c 1 d ỵ 1 yj ac 1 yj bd 2 1 . r nri 1 v ac

• Trung học phổ thông
• Chứng minh Bất đẳng thức
• phương pháp biến đổi tương đương
• bất đẳng thức cosi
• tính đơn điệu hàm số
• áp dụng phương pháp toạ độ
• Bất đẳng thức
• Phương pháp chứng minh bất đẳng thức
• Bài tập bất đẳng thức
• Phương pháp giải bất đẳng thức
• Bất đẳng thức Côsi
• Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức
• Sổ tay đại số cấp III
• Bất đẳng thức Bunhiacôpsski
• Bất đẳng thức Trêbusep
• Bài giảng Đại số 10
• Bài giảng Đại số 10 Bài 1
• Bài 1 Bất đẳng thức
• Bài giảng Chứng minh bất đẳng thức
• Bất đẳng thức Cauchy
• Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ
• Bất đẳng thức phụ
• Bài toán bất đẳng thức
• Bài tâp bất đẳng thức
• Chinh phục bất đẳng thức
• Bất đẳng thức trong đề thi Quốc gia
• Bất đẳng thức AM GM
• Bất đẳng thức cơ bản
• Bất đẳng thức trong lượng giác
• Phương pháp điều chỉnh số mũ
• Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy
• Điều chỉnh số mũ của các lũy thừa
• Định lí Rolle
• Bất đẳng thức đa thức
• Chứng minh bất đẳng thức đa thức
• Đồng nhất thức đa thức
• Định lí Rolle đối với đa thức
• Sáng kiến kinh nghiệm Toán học
• Cách sử dụng bất đẳng thức vectơ
• Toán chứng minh bất đẳng thức
• Phương pháp giải toán bất đẳng thức
• Thực trạng giải toán bất đẳng thức
• Phương pháp dạy Toán học
• Sách Toán học
• Tài liệu ôn tập môn Toán
• Giải bất phương trình
• Bất đẳng thức tổ hợp
• Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp
• Giải Toán bất đẳng thức
• Học tốt Toán lớp 11
• Sáng tạo bất đẳng thức
• Bất đẳng thức cơ sở
• Chọn lọc bất đẳng thức
• Xây dựng bất đẳng thức
• Chuyên đề Bất đẳng thức
• Bất đẳng thức cần nhớ
• Ôn tập bất đẳng thức
• Tính giá trị biểu thức
• Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
• Dùng bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức
• Giúp học sinh học tốt môn Toán
• Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
• Sáng kiến kinh nghiệm lớp 10
• Sáng kiến kinh nghiệm
• Phương pháp PTM
• Sáng kiến kinh nghiệm THPT
• Dãy các bất đẳng thức
• Bất đẳng thức hoán vị
• Phương pháp chứng minh bất đẳng thức hoán vị
• Bất đẳng thức hoán vị ba biến
• Đề thi học sinh giỏi THPT
• Bất đẳng thức đối xứng
• Các bất đẳng thức cổ điển
• Bất đẳng thức Cauchy Schwarz
• Phép nhóm Abel
• Ứng dụng phép nhóm Abel
• Bài tập chứng minh bất đẳng thức
• Luyện thi Toán học
• Ôn tập Đại số
• Chứng minh Toán học
• Bất đẳng thức Bunhiacopski
• Định nghĩa hàm lồi
• Bất đẳng thức Jensen
• luận văn
• bất đẳng thức cô si
• bất đẳng thức đồng bậc
• tài liệu toán học
• tài liệu bất đẳng thức
• Tuyển tập bất đẳng thức
• Chuyên đề Toán phổ thông
• bất đẳng thức Ptolemy
• Bất đẳng thức Hayashi
• Bất đẳng thức Klamkin
• bất đẳng thức Weizenbock
• Giải bài tập Bất đẳng thức