TAILIEUCHUNG - Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2008

Tham khảo tài liệu 'đề thi olympic sinh viên thế giới năm 2008', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | n Problem 6. For a permutation a ---jin of 1 2 . n define -D ff fc . Let Q n d be k l the number of permutations a of f 2 . n with d D 7 . Prove that Q n d is even for d 2n. Solution. Consider the n x n determinant 1 A a 1 where the 7-th entry is x A From the definition of the determinant we get A x 52 where Sn is the set of all permutations of 1 2 n and inv i1 . denotes the number of inversions in the sequence i1 in . So Q n d has the same parity as the coefficient of xd in A x . It remains to evaluate A x . In order to eliminate the entries below the diagonal subtract the n l -th row multiplied by x from the n-th row. Then subtract the n 2 -th row multiplied by x from the n l -th and so on. Finally subtract the first row multiplied by x from the second row. 1 x 0 1 x2 For d in the coefficient of xd is 0 so Q n d is even. 4 IMC2008 Blagoevgrad Bulgaria Day 1 July 27 2008 Problem 1. Find all continuous functions R R such that x f y is rational for all reals x and y such that x y is rational. Solution. We prove that f x ax b where a E Q and b G R. These functions obviously satify the conditions. Suppose that a function f x fulfills the required properties. For an arbitrary rational q consider the function gq x f x q f x . This is a continuous function which attains only rational values therefore gq is constant. Set a 1 0 and b 0 . Let n be an arbitrary positive integer and let r f i n 0 . Since f x 1 n f x f i n 0 r for all x we have and - 0 - 0 - -1 n - -1 n - -2 n - . - - fc - l n - f -k n -kr for k 1. In the case k n we get a 1 0 nr so r a n. Hence fc n 0 kr ak n and then fc n a k n b for all integers k and n 0. So we have f x ax b for all rational x. Since the function is continous and the rational numbers form a dense subset of R the same holds for all real x. Problem 2. Denote by V the real vector space of all real polynomials in one variable and let P V -n R be a linear map. Suppose that for all g G V with P fg 0 we have P f 0 or P g 0. Prove that there exist

• Toán học
• Đề thi
• olympic sinh viêc quốc tế
• olympic sinh viên thế giớ
• bộ đề thi olympic
• luyện thi olympic quốc tế
• Đề thi THPT Quốc gia 2020
• Đề thi thử THPT Quốc gia
• Đề thi THPT Quốc gia
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Văn
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Anh
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Hóa
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Lí
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Sử
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Địa
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn GDCD
• Đề thi thử môn GDCD
• Đề thi THPT Quốc gia môn GDCD
• Ôn thi THPT Quốc gia
• Luyện thi THPT Quốc gia
• Ôn tập GDCD
• Ôn thi GDCD
• Bài tập GDCD
• Đề thi vào lớp 10
• Đề tuyển sinh vào lớp 10
• Đề thi vào lớp 10 năm 2020
• Đề thi vào lớp 10 môn Toán
• Đề thi vào lớp 10 môn Văn
• Đề thi vào lớp 10 môn Anh
• Đề thi vào lớp 10 môn Hóa
• Đề thi vào lớp 10 môn Lý
• Đề thi vào lớp 10 môn Sinh
• Đề thi vào lớp 10 môn Sử
• Đề thi vào lớp 10 môn Địa
• Đề tập huấn thi THPT Quốc gia năm 2020
• Đề tập huấn thi THPT Quốc gia môn Toán
• Đề thi thử môn Toán
• Đề thi THPT Quốc gia môn Toán
• Ôn tập Toán
• Ôn thi Toán
• Bài tập Toán
• ôn thi cao đẳng
• Đề thi thử đại học môn toán năm 2012
• đề thi toán đại học
• tài liệu luyện thi đại học
• bài tập trắc nghiệm
• cấu trúc đề thi đại học
• ngân hàng đề thi trắc nghiệm
• tài liệu ôn thi đại học
• bộ đề thi đại học
• đề thi thử đại học
• tuyển sinh đại học cao đẳng
• các đề thi đại học