TAILIEUCHUNG - Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2001

" Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2001 " . Đây là một sân chơi lớn để sinh viên thế giới có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình. Từ đó đến nay, các kỳ thi Olympic sinh viênthế giới đã liên tục được mở rộng quy mô rất lớn. Kỳ thi này là một sự kiện quan trọng đối với phong trào học toán của sinh viên thế giới trong trường đại. | 8th IMC 2001 July 19 - July 25 Prague Czech Republic First day Problem 1. Let n be a positive integer. Consider an n x n matrix with entries 1 2 . n2 written in order starting top left and moving along each row in turn left-to-right. We choose n entries of the matrix such that exactly one entry is chosen in each row and each column. What are the possible values of the sum of the selected entries Solution. Since there are exactly n rows and n columns the choice is of the form . j J 1 . ng where a 2 Sn is a permutation. Thus the corresponding sum is equal to n n n n 2 n j_ 1 a j 12 nj_ 12n E a j j i j i j i j i . nn n 1 2 n n2 1 n2 3 n _ j n 1 7 2 7 - n2 ---------- - j 1 j 1 j 1 which shows that the sum is independent of a. Problem 2. Let r s t be positive integers which are pairwise relatively prime. If a and b are elements of a commutative multiplicative group with unity element e and ar bs ab 7 e prove that a b e. Does the same conclusion hold if a and b are elements of an arbitrary non-commutative group Solution. 1. There exist integers u and v such that us vt 1. Since ab ba we obtain v i i xus vt i US I iXt i xUS i xUS us i s u us us ab ab ab ab I ab e ab aus bs aus e aus. Therefore br ebr arbr ab r ausr ar us e. Since xr ys 1 for suitable integers x and y b bxr ys br x bs y e. It follows similarly that a e as well. 2. This is not true. Let a 123 and b 34567 be cycles of the permutation group S7 of order 7. Then ab 1234567 and a3 b5 ab 7 e. 1 Problem 3. Find lim 1 t 5 t y n 1 proaches 1 from below. tn 1 tn where t 1 means that t ap- 1 8th IMC 2001 July 19 - July 25 Prague Czech Republic Second day Problem 1. Let r s 1 be integers and o 1 r-i bo bi b -i be real nonnegative numbers such that o ix 2x2 r_ ixr 1 xr bo bix b jx2 bs ixs 2 xs 1 x x2 x xr s Prove that each j and each bj equals either 0 or 1. Solution. Multiply the left hand side polynomials. We obtain the following equalities obo 1 obi ibo 1 Among them one can find equations o ibs i 2bs 2 1 and bo bi r i

• Toán học
• Đề thi
• olympic sinh viêc quốc tế
• olympic sinh viên thế giớ
• bộ đề thi olympic
• luyện thi olympic quốc tế
• Đề thi THPT Quốc gia 2020
• Đề thi thử THPT Quốc gia
• Đề thi THPT Quốc gia
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Văn
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Anh
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Hóa
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Lí
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Sử
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Địa
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn GDCD
• Đề thi thử môn GDCD
• Đề thi THPT Quốc gia môn GDCD
• Ôn thi THPT Quốc gia
• Luyện thi THPT Quốc gia
• Ôn tập GDCD
• Ôn thi GDCD
• Bài tập GDCD
• Đề thi vào lớp 10
• Đề tuyển sinh vào lớp 10
• Đề thi vào lớp 10 năm 2020
• Đề thi vào lớp 10 môn Toán
• Đề thi vào lớp 10 môn Văn
• Đề thi vào lớp 10 môn Anh
• Đề thi vào lớp 10 môn Hóa
• Đề thi vào lớp 10 môn Lý
• Đề thi vào lớp 10 môn Sinh
• Đề thi vào lớp 10 môn Sử
• Đề thi vào lớp 10 môn Địa
• Đề tập huấn thi THPT Quốc gia năm 2020
• Đề tập huấn thi THPT Quốc gia môn Toán
• Đề thi thử môn Toán
• Đề thi THPT Quốc gia môn Toán
• Ôn tập Toán
• Ôn thi Toán
• Bài tập Toán
• ôn thi cao đẳng
• Đề thi thử đại học môn toán năm 2012
• đề thi toán đại học
• tài liệu luyện thi đại học
• bài tập trắc nghiệm
• cấu trúc đề thi đại học
• ngân hàng đề thi trắc nghiệm
• tài liệu ôn thi đại học
• bộ đề thi đại học
• đề thi thử đại học
• tuyển sinh đại học cao đẳng
• các đề thi đại học