TAILIEUCHUNG - Tổng quan về Hình học không giao hoán
Tài liệu nghiên cứu về đa tạp không giao hoán; định lý cơ bản; những cách tiếp cận khác; phiên bản connes về hình học không giao hoán; về các ứng dụng vật lý. Để nắm chi tiết nội dung tài liệu. | Tổng quan về Hình học không giao hoán TỔNG QUAN VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAO HOÁN Quangnx_ltd@ 1. Đa tạp không giao hoán Đa tạp (hoặc đa tạp khả vi) n-chiều là các đa tạp trơn được mô tả bởi hệ tọa độ địa phương x1 ,., x n . Nếu M là một đa tạp, thì hệ thống của tất cả các hàm khả vi vô tận tồn tại trên M sẽ được ký hiệu là C (M ) . Các hàm này thỏa mãn phép cộng và nhân: ( f g )( x) f ( x ) g ( x ) ( fg )( x ) f ( x ) g ( x ) C (M ) là một đại số, và là một đại số giao hoán. Tồn tại các đối tượng hình học khác nhau trên M , chúng sẽ được định nghĩa theo dạng của đại số C (M ) . Khái niệm đầu tiên là trường vectơ. Một trường vectơ là một hệ của các hàm X k (x ) với k 1,., n và x x1 ,., x n Trường vectơ có toán tử vi phân: X 1 1 . X n n x x Đây là một toán tử tuyến tính từ C (M ) vào chính nó – tạm ký hiệu là X . X thỏa mãn phép tính theo công thức Leibniz: X ( fg ) X ( f ) g fX ( g ) Định lý: Các trường vectơ hay các toán tử vi phân tương ứng, là các phép lấy đạo hàm của C (M ) . Tương tự cho các đối tượng hình học khác trên M, các form vi phân là các trường tensor., đều có thể có định nghĩa thuần túy đại số từ C (M ) . Ngoài ra, các cấu trúc khác có thể đặt lên đa tạp M như tensor metric Riemann với tensor cong, các connection, các đạo hàm hiệp biến, các bó vector., cũng có thể định nghĩa và nghiên cứu trong văn cảnh đại số này. Đại số C (M ) là đặc trưng cho đa tạp M, thể hiện bởi định lý sau đây: Định lý: Hai đa tạp M Và N là diffeomorphic (cùng đa tạp) nếu và chỉ nếu các đại số của những hàm C (M ) ) và C (N ) đẳng cấu (cùng đại số). Mọi thuộc tính hình học vi phân của đa tạp M được mã hóa trong đại số C (M ) , điều này được minh họa bởi sơ đồ sau đây: Đa tạp M → Đại số C (M ) → Các đối tượng hình học: trường vectơ, trường tensor, bó vectơ, metric Riemann, connection, đạo hàm hiệp biến, tensor độ cong, Sơ đồ biểu thị thực tế mà hình học vi phân
đang nạp các trang xem trước
