TAILIEUCHUNG - Toán tử Laplace với mật độ
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày các khái niệm về vi phân ngoài với mật độ của một dạng vi phân, đạo hàm với mật độ của một hàm, tích trong với mật độ và tích phân với mật độ như là sự mở rộng của các khái niệm tương ứng trong không gian Euclid cũng như các tính chất của chúng. | TOÁN TỬ LAPLACE VỚI MẬT ĐỘ NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi trình bày các khái niệm về vi phân ngoài với mật độ của một dạng vi phân, đạo hàm với mật độ của một hàm, tích trong với mật độ và tích phân với mật độ như là sự mở rộng của các khái niệm tương ứng trong không gian Euclid cũng như các tính chất của chúng. Trên cơ sở đó, chúng tôi trình bày các kết quả của toán tử Laplace với mật độ của một hàm và của một siêu mặt trong Rn . 1 GIỚI THIỆU Trong không gian Euclid, toán tử Laplace của một hàm f (x1 , x2 , ., xn ) được xác định bởi công thức ∆f = div∇f, trong đó ∇f = ( ∂f ∂f ∂f ∂ ∂f ∂ ∂f ∂ ∂f , ,··· , ); div∇f = + + ··· + . ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂xn ∂xn Đối với mặt tham số X : U ⊂ R2 −→ R3 với X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), toán tử Laplace của mặt X được xác định bởi công thức ∆X := (∆x, ∆y, ∆z) = Xuu + Xvv . Khi đó tính cực tiểu của mặt có mối quan hệ chặt chẽ với toán tử Laplace của mặt. Điều này được khẳng định bởi định lý: Nếu mặt X(u, v) là mặt tham số trực giao thì ta có đẳng thức ∆X = Xuu + Xvv = (2EH)N. Hay nói cách khác, mặt tham số trực giao X(u, v) là cực tiểu khi và chỉ khi ∆X = 0. Không gian với mật độ là không gian Euclid với một hàm dương eφ dùng làm trọng số trong việc ước lượng thể tích. Hướng nghiên cứu không gian với mật độ đang thu hút nhiều nhóm tác giả trong đó phải kể đến nhóm nghiên cứu của giáo sư Morgan. Nhiều kết quả về mặt cực tiểu với mật độ nói chung và toán tử Laplace với mật độ nói riêng đã được đưa ra trong thời gian gần đây. Đây là vấn đề thời sự đang thu hút nhiều nhà toán học. Theo trên, trong không gian Euclid toán tử Laplace của mặt được xác định bởi các toán tử ∇ và div. Do đó, muốn mở rộng khái niệm toán tử Laplace lên không gian Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 02(14)/2010: tr. 15-24 16 NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN với mật độ ta cần quan tâm đến việc xây dựng các phép toán vi phân ngoài với mật độ, đạo
đang nạp các trang xem trước
