TAILIEUCHUNG - Bài giảng Phương pháp số: Bài 2 - ThS. Nguyễn Thị Vinh
Bài 2 giúp người học hiểu về "Nghiệm của các phương trình phi tuyến". Nội dung trình bày cụ thể gồm có: Giải phương trình f(x) = 0, các phương pháp lặp, phép lặp điểm cố định, sự hội tụ của phương pháp newton,.! | BÀI 2 NGHIỆM CỦA CÁC PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH f(x) = 0 KHÁI NIỆM CHUNG Bài toán Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn [a, b] hoặc trên khoảng vô hạn và đƣờng cong y = f(x) chỉ có các nghiệm cô lập, tức là tồn tại các khoảng rời nhau chứa các không điểm của f(x) Các bƣớc giải 1- Tách nghiệm hay tìm khoảng cách li nghiệm (a, b) - chỉ chứa một nghiệm của phƣơng trình f(x) = 0 2- Kiện toàn nghiệm: tính gần đúng nghiệm với độ chính xác cho trƣớc Cơ sở của phƣơng pháp tách nghiệm Nếu hàm f(x) xác định và liên tục trên [a, b], f(a)f(b) < 0 và f’(x) giữ dấu trên (a, b) thì tồn tại duy nhất một nghiệm thực x* ∊ (a, b) của phƣơng trình f(x) = 0 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 2 GiẢI PHƯƠNG TRÌNH f(x) = 0 PHƢƠNG PHÁP TÁCH NGHIỆM Lập bảng xét dấu của đạo hàm cấp một f‘(x) rồi tìm các khoảng (a, b) thỏa mãn các điều kiện trên Ví dụ: Tìm các khoảng chứa các nghiệm cô lập của phƣơng trình f(x) = x3 – x – 1= 0 Giải: f‘ (x) = 3x2 – 1, lập bảng xét dấu sau x -∞ -2 y’ + + y -1 + 0 0 _ 0 -7 -1 2 ∞ + 1 + + 5 Vậy phƣơng trình trên có một nghiệm cô lập x1∊(1 ; ) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 3 CÁC PHƢƠNG PHÁP LẶP (1) Bắt đầu 1 PHƢƠNG PHÁP CHIA ĐÔI Giả thiết Cho f(x) liên tục trên (a, b) và f(a) f(b) < 0 Nhập a, b, ε m=(a+b)/2 y=f(x) đ f(a)f(m)<0 s b=m a a=m b x* (a+b)/2 b-a<ε s đ Kết thúc PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 2 4 CÁC PHƢƠNG PHÁP LẶP (2) 1 PHƢƠNG PHÁP CHIA ĐÔI (tiếp) Thuật toán: Lặp với n = 0, 1, 2, ,, cho đến khi tìm đƣợc nghiệm đúng x* hoặc nghiệm gần đúng xn đạt đƣợc độ chính xác mong muốn - Đặt m = (an + bn) / 2, nếu f(m) = 0 dừng (m là nghiệm đúng) - Nếu f(an) f(m) < 0, đặt an + 1 = an, bn + 1 = m - Trái lại, đặt an + 1 = m, bn + 1 = bn Vậy f(x) luôn luôn có không điểm trong khoảng [an + 1 ; bn + 1] . Sự hội tụ và sai số: Sử dụng phƣơng pháp chia đôi liên tiếp ta nhận đƣợc dãy khoảng lồng nhau {(an ; bn)} hữu hạn nếu x* là điểm giữa của khoảng thứ n, hay vô hạn co lại: an < x* < bn f(an).f(bn) < 0, bn – an = (b – a) / 2n Khi n→ , do sự .
đang nạp các trang xem trước