TAILIEUCHUNG - 48_2
| TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 48, 2008 VỀ CẤU TRÚC VÀ BIỂU DIỄN XẠ ẢNH CỦA NHÓM LIE POINCARÉ Trần Đạo Dõng, Đại học Huế Lưu Thị Khánh Giang, Sở GD-ĐT Quảng Bình Nguyễn Tân Quang, học viên cao học trường ĐHSP, Đại học Huế TÓM TẮT Một trong các bài toán cơ bản của lý thuyết biểu diễn nhóm Lie là mô tả và phân lớp các biểu diễn unita bất khả qui của các nhóm Lie nửa đơn, đặc biệt là các biểu diễn xạ ảnh bất khả qui cảm sinh từ biểu diễn unita bất khả qui của phủ phổ dụng đơn liên tương ứng. Trong bài viết này, trước hết chúng tôi khảo sát cấu trúc của nhóm Poincaré xét như tích nửa trực tiếp của các nhóm Lie. Tiếp đó, chúng tôi khảo sát biểu diễn xạ ảnh của nhóm Lie Poincaré liên thông SO(3, 1)◦ n R4 cảm sinh từ các biểu diễn unita bất khả quy của tích nửa trực tiếp SL(2, C) n R4 , phủ phổ dụng đơn liên 2-lá của SO(3, 1)◦ n R4 . §1. Nhóm poincaré và phủ đơn liên tương ứng . Định nghĩa: Cho nhóm Lorentz H = O(3, 1) tác động một cách tự nhiên lên R4 qua ánh xạ τ : O(3, 1) × R4 → R4 , (g, x) 7→ τ (g, x) = gx. Khi đó, ánh xạ α : g 7→ τ (g, .) là một đồng cấu nhóm từ nhóm Lorentz H = O(3, 1) vào nhóm các tự đẳng cấu trơn của R4 . Ta định nghĩa nhóm Poincaré là tích nửa trực tiếp O(3, 1) ×τ R4 của các nhóm Lie O(3, 1) và R4 . Để đơn giản, nhóm Poincaré thường được ký hiệu là G = O(3, 1)nR4 . Phép toán nhân và nghịch đảo trên nhóm Poincaré cho bởi (g, x)(g 0 , x0 ) = (gg 0 , τ (g 0−1 , x) + x0 ) = (gg 0 , g 0−1 x + x0 ) (g, x)−1 = (g −1 , τ (g, −x)) = (g −1 , −gx), ∀(g, x), (g 0 , x0 ) ∈ G. . Mệnh đề: Đại số Lie của nhóm Lie Poincaré G = O(3, 1) n R4 là tích nửa trực tiếp của các đại số Lie so(3, 1) ⊕π R4 , với π : so(3, 1) → DerR4 là đồng cấu đại số Lie xác định bởi π(X)x = Xx, ∀X ∈ so(3, 1), ∀x ∈ R4 . Chứng minh. Gọi τ (g) là vi phân của τ (g, .) tại phần tử đơn vị của R4 . Do τ (g, .) : R4 → R4 là một tự đẳng cấu nhóm Lie nên τ (g) : R4 → R4 là tự đẳng cấu đại số Lie của R4 . Khi đó, ánh xạ τ : G → AutR (R4 ), g 7→ τ (g) là một đồng cấu nhóm 15 và trơn nên τ .
đang nạp các trang xem trước
