Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Phương trình vi phân hay phương trình sai phân là một phương trình toán học nhằm biễu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa được biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình sai phân đóng vai trò cực kì quan trọng trong kĩ thuật, vật lí, kinh tế và một số ngành khác. Ví dụ: một phương trình sai phân đơn giản | Phương trình vi phân Bài 8B PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO Chương 7 H Ệ PHI TUY Ế N VÀ CÁC HI Ệ N T ƯỢ NG 7.1. Nghiệm cân bằng và tính ổn định Sự ổn định của nghiệm kì dị 1. Đặt vấn đề Đối với một phương trình vi phân bất kì không phải luôn tìm được nghiệm tường minh Ngay cả khi không tìm được nghiệm tường minh thì vẫn cần nhận được những thông tin có giá trị về nghiệm chẳng hạn như tính không bị chặn bị chặn tuần hoàn của nghiệm . minh hoạ qua một số ví dụ dưới đây Ví dụ 1. Gọi x t là nhiệt độ của một vật thể với nhiệt độ ban đầu x 0 x0. Ở thời điểm t 0 vật thể được nhúng trong một dung dịch có nhiệt độ không đổi bằng A. Theo định lý làm nguội của Newton thì dx . . -k x - A k 0 k const dt Sử dụng phương pháp tách biến nhận được nghiệm x t A xo - A e-kt rõ ràng rằng lim x t A t Hình 7.1.1. Các đường cong nghiệm điển hình của phương trình làm nguội của dx Newton dp -k x - A 1 dx Ví dụ 2. Xét phương trình vê tăng trưởng dân sô d f x ở đó f x là tỷ lệ sinh và tỷ lệ tử vong của các cá thể trong một đơn vị thời gian. Đây là phương trình Otonom cấp 1. Nếu f c 0 thì có x t c là nghiệm. Nghiệm hằng sô của một phương trình vi phân còn được gọi là nghiệm cân bằng. Như vậy đặc trưng nghiệm của phương trình otonom cấp 1 có thể được mô tả qua các điểm kỳ dị của phương trình. dx Ví dụ 3. Xét phương trình Logistic kx M - x ở đó k 0 M 0. dt Có 2 điểm kỳ dị đó là các nghiệm x 0 và x M Có nghiệm từ mục 1.7 là x t _ Mx0 x0 M - x0 e kMt Từ đó có x t 0 và x t M là nghiệm cân bằng Hình 7.1.3. Các đường cong nghiệm điển hình dx của phương trình d. kx M - x 2. Sự ổn định của các điểm kỳ dị Điểm kỳ dị x c của 1 phương trình vi phân cấp 1 otonom được gọi là ổn định nếu Ve 0 3S 0 sao cho x0-c ỗ thì có x t - c e Vt 0. Điểm kỳ dị x c được gọi là không ổn định nếu nó không là điểm ổn định. 2 Ví dụ 4. Hình 7.1.4. Các đường cong nghiệm phễu và vòi của phương trình dx . ọ 4 x - x2 dt Hình 7.1.4 cho cách nhìn rộng hơn về đường cong nghiệm của một phương trình logistic với k 1 và M 4. Chú ý rằng dải 3
