Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Vì vậy rjpj là phần nhỏ của tổng năng lượng trong các thành phần L đầu tiên từ 0, trong đó {0f} được lập chỉ mục theo giá trị giảm. Việc chuyển đổi đơn nhất mà làm cho r \ c = 0 và giảm thiểu J'L là biến đổi Karhunen-Loeve (Karhunen năm 1947; Hotellirig, 1933). Dẫn xuất của chúng tôi cho các tín hiệu thực tế và biến đổi sau. Hãy xem xét chuyển đổi đơn nhất như vậy mà | CHAPTER 2. ORTHOGONAL TRANSFORMS For completely decorrelated spectral coefficients 7 c 1. The second parameter rjE measures the energy compaction property of the transform. Eq. 2.20 Defining J L as the expected value of the summed squared error Jf. of . T PM MP EĨP E i B Jo EpMr M 2.66 This J L has also been called the basis restriction error by Jain 1989 . Then the compaction efficiency is w 1 - M Ọ2RT Thus Tfpj is the fraction of the total energy in the first L components of f . where erf are indexed according to decreasing value. The unitary transformation that makes T c 0 and minimizes J L is the Karhu-nen-Loeve transform Karhunen 1947 Hotelling 1933 . Our derivation for real signals and transforms follows. Consider a unitary transformation 4 such that 2.68 The approximation f L and approximation error eL are E E lr r 0 N-l ẼL f-fL T8 r r L 2.69 By orthonormality it easily follows that 2V 1 Ml E r L and N-Ị j l e Ml E ca r L 2.70 2.2. TRANSFORM EFFICIENCY AND CODING PERFORMANCE 35 From Eq. 2.34 . 0r ểrL Therefore E é E . fJTnr 2.71 so that the error measure becomes Ar 1 J l E gRfir-r L 2.72 To obtain the optimum transform we want to find the I r that minimizes J L for a given L subject to the orthonormality constraint ôr-ịỊ. Using Lagrangian multipliers we minimize N-l J 52 Sr Rf r - Ar t lr - 1 . 2.73 r L Each term in the sum is of the form J xrRx A xrx 1 . 2.74 Taking the gradient4 of this with respect to X Prob. 2.6 J YXJ 2Rx - 2Ax 0 dx or x Ax. Doing this for each term in Eq. 2.74 gives Rf Er Ar r 2.75 which implies Rf bT where A diag Xo . Ajv-1 - 4 The gradient is a vector defined as vy . J1L1T J ox Lori ƠXR J 36 CHAPTER 2. ORTHOGONAL TRANSFORMS The reason for the transpose is that we had defined as the rth column of . Hence r is an eigenvector of the signal covariance matrix Rf and Ar the associated eigenvalue is a root of the characteristic polynomial detixi Rf . Since Rf is a real symmetric matrix all Aị are real distinct and nonnegative. The value of .
