Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Tham khảo tài liệu 'chuyên đề 2: bất đẳng thức. các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất.', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | CHUYÊN ĐỀ 2 Bất đẳng thức. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất. Bài 1 Cho a b c là độ dài của ba cạnh tam giác. CMR ab bc ca a2 b2 c2 2. ab bc ca . Giải Ta có a2 b2 c2 - ab bc ca 1. a - b b - c 2 c - a 2 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c. Vậy ab bc ca a2 b2 c2. Lại có a b c a2 a. b c 1 Tương tự b2 b. a c 2 c2 c. b a 3 . Cộng 1 2 3 theo vế ta được a2 b2 c2 a. b c b. a c c. b a 2. ab bc ca . Bài 2 Giả sử x z y z z 0.CMR 7z. x - z ylz. y - z -y xy 1 . Giải x z m 1 y z n Đặt m n z 0 . Khi đó 1 trở thành Jzm 4zn yl z m . z n . I- L . m V . X ym vn I 1 I. n z K z J 2 . Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có Y m 1 I . n z z J I k yfn y m 1 m . n z Jn Jm. m .z z J Vậy 2 đúng tức là 1 cũng đúng đpcm . Bài 3 Cho xy 0 và x y 1.CMR 8. x4 y4 5. xy Giải Từ giả thiết xy 0 x y 1 0 x y 0 Ta có 1 x y 2 xỹ xy I 4 1 . 4 xy Lại có 8. x4 y4 4. 12 12 . x4 y4 4. x y2 2 12 12 . x2 y2 J x y 1. Suy ra 8. x4 y4 1 2 . Từ 1 và 2 suy ra 8. x4 y4 1 4 5. xy Ta có đpcm. Bài 4 Cho ba số phân biệt a b c.CMR Có ít nhất một trong ba số sau đây là số dương x a b c 2 - 9ab y a b c 2 - 9cb z a b c 2 - 9ac. Giải Ta có x y z 3. a b c 2 - 9. ab bc ca 3. a2 b2 c2- ab - bc - ca 3 a - b 2 b - c 2 c - aý 0. Do a b c a . Vậy trong ba số x y z luôn có ít nhất một số dương. Bài 5 Nếu a b 1 ab 0 thì a4 b4 1 . 8 Giải Hoàn toàn tương tự bài 3. Bài 6 CMR x10 y10 x2 y2 x8 y8 . x4 y4 . Giải Ta có x10 y10 x2 y2 x y8 x4 y x12 y1 x2y2 x8 y8 x 2 y12 x y4. x4 y4 x2y2. x8 y8 x4y- x4 y4 x2y2. x y - xữy2 - x2y6 0 x2y2. x2 -y2 . x6 -y6 0 x2y2. x2 -y2 . x4 x2y2 y4 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.Vậy ta có .
