Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
SỬ DỤNG TÍNH LỒI, LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chứng minh bất đẳng thức là một bài toán hay và khó và thường gặp trong các kì thi vào đại học, cao đẳng và các kì thi học sinh giỏi. Đứng trước một bất đẳng thức, học sinh thường lúng túng khi lựa chọn phương pháp. Bài viết này nhằm đưa ra một kĩ thuật đơn giản nhưng có hiệu quả khi giải quyết một lớp bài toán về chứng minh bất đẳng thức (BĐT) hay tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. | SỬ DỤNG TÍNH LỒI LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SÓ VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chứng minh bất đẳng thức là một bài toán hay và khó và thường gặp trong các kì thi vào đại học cao đẳng và các kì thi học sinh giỏi. Đứng trước một bất đẳng thức học sinh thường lúng túng khi lựa chọn phương pháp. Bài viết này nhằm đưa ra một kĩ thuật đơn giản nhưng có hiệu quả khi giải quyết một lớp bài toán về chứng minh bất đẳng thức BĐT hay tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Đó là sử dụng tính lồi lõm của đồ thị hàm số. I. Cơ sở lí thuyết a Nếu đồ thị hàm số y f x lồi trên khoảng a b và y f c x - c f c là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M c f c c e a b thì f x f c x - c f c Vx e a b 1 b Đối với đồ thị hàm số lõm ta có bất đẳng thức với chiều ngược lại ngược lại. Bất đẳng thức 1 cho phép ta đánh giá biểu thức f x thông qua biểu thức bậc nhất. Hơn nữa ta có thể chọn c sao cho dấu đẳng thức xảy ra theo đúng yêu cầu của bài toán. II. Bài tập áp dụng Bài 1 BĐT Cô - si . Cho a1 a2 . an là các số không âm. Chứng minh rằng a1 a2 . a I- 1 ------- na1a2 .an n Chứng minh. Nếu có một số ai 0 i 1 2 . n thì bđt là hiển nhiên. Bây giờ ta xét trường hợp ai 0 Vi e 1 2 . n . Chia hai vế cho a1 a2 . an ta được 1 a1 a1 a1 n va a . a a a . a a a . a 1 2 n 12 n 12 n a Đặt xi -- ----- i e 1 2 . n thì xi 0 thoả mãn x1 x2 . xn 1 và bđt trở thành ựx1x2.xn hay lnx1 lnx2 . lnxn nln nn 1 Xét hàm số y f x In x x 0. Ta có f x f x 0 Vx 0 suy ra đồ thị x x hàm số lồi trên khoảng 0 . m-Ă . Ă . . . . 1 1 ì Tiếp tuyến của đths tại điểm ln có phương trình là y nx -1 ln suy ra 1 n n n In x nx -1 ln Vx e 0 tt 1 n Áp dụng bđt 1 cho xb x2 . xn và cộng vế lại ta được lnx1 lnx2 . lnxn n x1 x2 . xn - n nln n Kết hợp với x1 x2 . xn 1 ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi x1 x2 . xn hay a1 a2 . an. Bài 2 BĐT Jenxen Cho hàm số y f x có đạo hàm câp 2 trên khoảng a b . a Nếu f x 0 Vx e a b thì Vx1 x2 . xn e a b và Va1 a2 . an e 0 1 thoả mãna1 a2 an 1 ta có f a1 x1 a2x2 - anxn a1f xJ a2f xd - a f xn 1 b Nếu f
