Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Giải tích đa trị P6 Giải tích (tiếng Anh: mathematical analysis) là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân. Nó có vai trò chủ đạo trong giáo dục đại học hiện nay. Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn". Để nghiên cứu giới hạn của một dãy số, hàm số,. ta phải "đo" được "độ xa gần" giữa các đối tượng cần xét giới hạn đó. Do vậy, những khái niệm như là mêtric, tôpô được tạo ra để mô tả một cách chính xác, đầy đủ việc. | 5.8. Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ 195 Vì thế không thể so sánh khái niệm đối đạo hàm với khái niệm Jacobian xấp xỉ. Để vượt qua khó khăn đó chúng ta cần đến định nghĩa sau. Định nghĩa 5.8.1. Một tập đóng khác rỗng A c L R R các toán tử tuyến tính được gọi là một đại diện20 của ánh xạ đối đạo hàm D f x - nếu 8.2 sup x u sup Á y u Bi- G R y G R . x eD f x y AeA Do định lý tách các tập lồi 8.2 tương đương với điều kiện sau 8.3 coD f x y ẽô Á y Á e A Vy e R . Nếu f là khả vi chặt tại x thì A f x là một đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D f x - . Nếu f R R là Lipschitz tại x nghĩa là tồn tại 0 sao cho llf X f x II x x với mọi x x được lấy tùy ý trong một lân cận của x khi đó tập Jb f x lim f xk xk c fìf Xk x k x được gọi là B-đạo hàm là một Jacobian xấp xỉ của f tại x. Ở đây Qf x E R 3 đạo hàm Frechet f1 x của f tại x . Nhận xét rằng tập lớn hơn JClf x co lim f xk xk c Qf Xk x k -tt Jacobian suy rộng Clarke của của f tại x cũng là Jacobian xấp xỉ của f tại x. Trong trường hợp m 1 JClf x ỡClf x xem Mục 5.2 . Mệnh để 5.8.1. Nêu hàm f R R là Lipschitz địa phương tại x thì tập hợp A Jbf x là một đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D f x - . Chứng minh. Theo công thức 2.23 trong Mordukhovich 1994b ta có á y Á e JClf x coD f x y Vy e R . Vì JClf x coJbf x từ đó suy ra rằng coD f x y co Á y Á E Jbf x . 20TNTA representative. 196 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng Vậy 8.3 nghiệm đúng nếu ta chọn A Jb f x . Điều đó chứng tỏ rằng A Jbf x là một đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D f x . . Mệnh để 5.8.2. Nếu f là Lipschitz tại X vá nếu A lá một đại diện của ánh xạ đối đạo hàm D f x - thì Jf x A là Jacobian xấp xỉ của f tại X. Chứng minh. Giả sử y R được cho tùy ý. Theo Mệnh đề 2.11 trong Mordukhovich 1994b ta có 8.4 D f x y ỡ y o f x . Vì y o f là Lipschitz tại X y o f o X u sup x u X ỡCl y o f x Vu R . Kết hợp điều đó với 7.4 và 8.4 ta thu được y o f o x u sup x u X D f x y sup A y u A A . Do đó y o f X u y o f o x u sup y AÙ A A . Vì tính chất đó đúng với mọi y R và u R ta kết .
